Soluzione Quesito 4 Maturità 2015

18 giu 2015

Esame di Maturità 2015: la soluzione del quesito 4 della seconda prova di matematica.

Difficoltà: Bassa

Argomenti che devi sapere per risolverlo:

• equazioni differenziali;
• calcolo delle derivate.

Testo del quesito 4:

Di quale delle seguenti equazioni differenziali la funzione \( y=\frac{\ln(x)}{x} \) è soluzione?

1. \( y”+2\frac{y’}{x}=y \)
2. \( y’+x \cdot y”=1 \)
3. \( x \cdot y’=\frac{1}{x}+y\)
4. \(  x^2 \cdot y” + x \cdot y’+ \frac{2}{x} \)

Soluzione del quesito 4:

La funzione \( y=\frac{\ln(x)}{x} \) è soluzione dell’equazione differenziale al punto 4.
Calcoliamo le derivate prima e seconda della funzione \(y= \frac{\ln(x)}{x} \) e sostituiamo nelle equazioni differenziali date. Quella che risulterà essere un’identità è quella che ha \( y=\frac{\ln(x)}{x} \)  come soluzione.

La derivata prima è: \( y’=\frac{\frac{1}{x}-1 \ln x}{x^2} = \frac{1- \ln x}{x^2} \)

La derivata seconda è: \( y”= \frac{-\frac{1}{x} x^2 -(1-\ln  x) 2x }{x^2}= \frac{-3x+2x \ln x}{x^4}\)

Sostituiamo nelle equazioni:

1. \( y”+2\frac{y’}{x}=y \Rightarrow \frac{-3x+2x \ln x}{x^4}+\frac{ 2-2 \ln x }{x^3}= \frac{\ln x}{x} \) Sviluppiamo i calcoli al primo membro: \( \frac{-3x+2x \ln x + 2x – 2x \ln x}{x^4}=\frac{\ln x}{x} \Rightarrow -\frac{1}{x^3}=\frac{\ln x}{x} \). Non è un’identità quindi la funzione non è soluzione dell’equazione differenziale.
2. \( y’+xy”=1 \Rightarrow \frac{1-\ln x}{x^2}+ \frac{-3x+2x \ln x}{x^3}=1 \) Sviluppiamo i calcoli al primo membro: \( \frac{x-x \ln x- 3x+2x \ln x}{x^3}=1 \Rightarrow \frac{\ln x -2}{x^2}=1 \). Non è un’identità quindi la funzione non è soluzione dell’equazione differenziale.
3. \( xy’=\frac{1}{x}+y \Rightarrow \frac{1-\ln x}{x}=\frac{1}{x}+\frac{\ln x}{x}\) Sviluppiamo i calcoli al secondo membro: \(  \frac{1-\ln x}{x} = \frac{1+\ln x}{x} \). Non è un’identità quindi la funzione non è soluzione dell’equazione differenziale.
4. \(x^2y”+xy’+\frac{2}{x}=y  \Rightarrow \frac{-3x+2x \ln x}{x^2} + \frac{x-x \ln x}{x^2} + \frac{2x}{x^2}= \frac{\ln x}{x}\) Sviluppiamo i calcoli al primo membro: \( \frac{-3x+2x \ln x +x – x\ln x + 2x}{x^2}=\frac{x \ln x}{x^2} \Rightarrow \frac{\ln x}{x}= \frac{\ln x}{x}  \). Abbiamo ottenuto un’identità, quindi la funzione \(y= \frac{\ln(x)}{x} \) è soluzione dell’equazione differenziale: \(x^2y”+xy’+\frac{2}{x}=y \)

Argomenti che devi sapere per risolverlo:

• equazioni differenziali;
• calcolo delle derivate.