Soluzione Quesito 6 Maturità 2015

soluzione quesito maturita seconda prova matematica

Esame di Maturità 2015: la soluzione del quesito 6 della seconda prova di matematica.

Difficoltà: bassa

Argomenti che devi sapere per risolverlo:

derivate fondamentali;
calcolo delle derivate;
ricerca dei massimi e minimi di una funzione.

Testo del quesito 6:

Sia \( f \) la funzione, definita per tutti gli \( x \) reali, da:

\( f(x)=(x-1)^2 + (x-2)^2 + (x-3)^2 + (x-4)^2 + (x-5)^2 \)

determinare il minimo di \(f\).

Soluzione del quesito 6:

Per detemrinare il minimo della funzione dobbiamo:

calcolare la derivata prima della funzione \( f'(x) \)
studiare la monotonia della funzione e i punti stazionari, cioè studiare il segno della derivata prima: \( f'(x) \ge 0 \)

Calcoliamo la derivata prima con il calcolo della derivata di una funzione composta dove la funzione esterna è sempre l’elevamento a potenza, e la derivata della funzione interna è sempre 1 perchè la funzione interna è \((x-n) \), dove \(n\) è un numero da 1 a 5.

\( f'(x)= 2(x-1)+2(x-2)+2(x-3)+2(x-4)+2(x-5) \\ f'(x)=2x-2+2x-4+2x-6+2x-8+2x-10 \\ f'(x)=10x-30 \)

Studiamo ora il segno della derivata:

\( f'(x) \ge 0 \Rightarrow 10x-30 \ge 0 \Leftrightarrow x \ge 3\)
Quindi:

\( x=3 \) è un punto stazionario, cioè un possibile punto di massimo o minimo per \( f \);
per \( x< 3 \) la derivata \( f’ \) è negativa, quindi \( f \) decresce;
per \( x > 3 \) la derivata \( f’ \) è positiva, quindi \( f \) cresce.

In un intorno di \( x=3\) la funzione \( f \) prima decresce e poi cresce, quindi \( x=3 \) è il minimo cercato.