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Soluzione Quesito 6 Maturità 2015 18 giu 2015
Esame di Maturità 2015: la soluzione del quesito 6 della seconda prova di matematica.
Difficoltà: bassa
Argomenti che devi sapere per risolverlo:
Testo del quesito 6:
Sia \( f \) la funzione, definita per tutti gli \( x \) reali, da:
\( f(x)=(x-1)^2 + (x-2)^2 + (x-3)^2 + (x-4)^2 + (x-5)^2 \)
determinare il minimo di \(f\).
Soluzione del quesito 6:
Per detemrinare il minimo della funzione dobbiamo:
- calcolare la derivata prima della funzione \( f'(x) \)
- studiare la monotonia della funzione e i punti stazionari, cioè studiare il segno della derivata prima: \( f'(x) \ge 0 \)
Calcoliamo la derivata prima con il calcolo della derivata di una funzione composta dove la funzione esterna è sempre l’elevamento a potenza, e la derivata della funzione interna è sempre 1 perchè la funzione interna è \((x-n) \), dove \(n\) è un numero da 1 a 5.
\( f'(x)= 2(x-1)+2(x-2)+2(x-3)+2(x-4)+2(x-5) \\ f'(x)=2x-2+2x-4+2x-6+2x-8+2x-10 \\ f'(x)=10x-30 \)Studiamo ora il segno della derivata:
\( f'(x) \ge 0 \Rightarrow 10x-30 \ge 0 \Leftrightarrow x \ge 3\)
Quindi:
- \( x=3 \) è un punto stazionario, cioè un possibile punto di massimo o minimo per \( f \);
- per \( x< 3 \) la derivata \( f’ \) è negativa, quindi \( f \) decresce;
- per \( x > 3 \) la derivata \( f’ \) è positiva, quindi \( f \) cresce.
In un intorno di \( x=3\) la funzione \( f \) prima decresce e poi cresce, quindi \( x=3 \) è il minimo cercato.
Argomenti che devi sapere per risolverlo:
