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Soluzione Quesito 7 Maturità 2015
18 giu 2015
Esame di Maturità 2015: la soluzione del quesito 7 della seconda prova di matematica.
Difficoltà: Media/Alta
Argomenti che devi sapere per risolverlo:
- Poligoni regolari inscritti in una circonferenza
- I teoremi dei triangoli rettangoli di trigonometria
- Formule di duplicazione
- Limiti notevoli
Testo del quesito 7:
Detta \( A(n) \) l’area del poligono regolare di \( n \) lati inscritto in un cerchio \( C \) di raggio \( r \), verificare che \( A(n)=\frac{n}{2}r^2sen\frac{2\pi}{2} \) e calcolarne il limite per \( n\to\infty \).
Soluzione del quesito 7:
Un poligono regolare di \( n \) lati è composto da \( n \) triangoli isosceli congruenti. L’area di un poligono regolare di \( n \) lati sarà quindi \( n \) volte l’area di un triangolo isoscele.
Ogni triangolo isoscele ha
- come base il lato \( L \) del poligono
- come altezza l’apotema \( a \) del poligono
- come lati obliqui il raggio \( r \) della circonferenza circoscritta al poligono regolare
- l’angolo al vertice uguale a \( \frac{2\pi}{n} \).
Un triangolo isoscele è formato da due triangoli rettangoli congruenti, allora l’area di un triangolo isoscele è uguale a due volte l’area del triangolo rettangolo con base uguale a \( \frac{L}{2} \), altezza l’apotema \( a \), ipotenusa il raggio \( r \) e l’angolo opposto alla base misura \( \frac{\pi}{n} \).
L’area del poligono regolare è quindi \( A(n)=n\cdot 2\left( \frac{\frac{L}{2}\cdot a}{2}\right)=n\left( \frac{L}{2}\cdot a\right) \)
Ora troviamo \( a \) e \( \frac{L}{2} \) in funzioni del raggio \( r \) usando i teoremi dei triangoli rettangoli di trigonometria:
\( a=r\,cos\frac{\pi}{n} \\ \frac{L}{2}=r\,sen\frac{\pi}{n}\)Sostituiamo nella formula dell’area:
\( A(n)=n\left( r\,sen\frac{\pi}{n}\cdot r\,cos\frac{\pi}{n}\right)=n\cdot r^2\,sen\frac{\pi}{n}\,cos\frac{\pi}{n} \)Per la formula di duplicazione del seno sappiamo che \( sen\,2x=2sen\,x\,cos\,x \)
Allora \( sen\frac{\pi}{n}\,cos\frac{\pi}{n}=\frac{1}{2}sen\frac{2\pi}{n} \) e quindi l’area del poligono regolare è \( A(n)=\frac{n}{2}\cdot r^2\,sen\frac{2\pi}{n} \)
Calcoliamo ora il limite \( \lim\limits_{n\to\infty}\frac{n}{2}\cdot r^2\,sen\frac{2\pi}{n}=\left[ 0\cdot \infty\right] \) forma indeterminata!
Facciamo la sostituzione \( n=\frac{1}{t} \longrightarrow t=\frac{1}{n}\) quindi ora dobbiamo calcolare il limite per \( t\to 0 \) cioè
\( \lim\limits_{t\to 0}\frac{r^2}{2t}\,sen\,2\pi t \)Moltiplichiamo sopra e sotto per \( \pi \) così otteniamo \( \lim\limits_{t\to 0}\pi\cdot r^2\frac{sen\,2\pi t}{2\pi t}=\pi r^2 \) poiché \( \lim\limits_{t\to 0}\frac{sen\,2\pi t}{2\pi t}=1 \) è un limite notevole!
Ma \( \pi r^2 \) è l’area della circonferenza…infatti la circonferenza si può definire come un poligono di infiniti lati!
