Soluzione Quesito 8 Maturità 2015

18 Jun 2015

Esame di Maturità 2015: la soluzione del quesito 8 della seconda prova di matematica.

Difficoltà: Medio/alta

Argomenti che devi sapere per risolverlo:

• Area di un triangolo;
• Area di un settore circolare;
• Calcolo delle probabilità.

Testo del quesito 8:

I lati di un triangolo misurano \( 6\, cm\), \( 6\, cm\) e \( 5\, cm\). Preso a caso un punto \( P \) all’interno del triangolo, qual è la probabilità che \( P \) disti più di \( 2\, cm\) da tutti i vertici del triangolo?

Soluzione del quesito 8:

Per calcolare la probabilità, dobbiamo prima capire quali sono i casi favorevoli e quali i casi possibili. I casi favorevoli sono tutti i punti della superficie con contorno arancione nella figura, cioè tutti i punti del triangolo che hanno distanza maggiore di \( 2 \, cm \) dai vertici. I casi possibili sono tutti i punti del triangolo. Quindi la probabilità cercata è

\( Prob = \frac{A_{\text{triangolo}}-A_{\text{settori circolari}}}{A_{\text{triangolo}}}  \)

Per calcolare l’area del triangolo, usiamo il teorema di Pitagora, perché il triangolo è isoscele e, tracciando l’altezza, abbiamo:

\( h=\sqrt{ 6^2 – (2,5)^2}= \sqrt{ 36- 6,25} = \sqrt{29,75} \)

quindi l’area del triangolo è \( A_{\text{triangolo}}=\frac{5 \cdot \sqrt{29,75}}{2}=13,64  \)

Ora troviamo l’area dei tre settori circolari che rappresentano la superficie “vicina” ai vertici, cioè dove non va bene che stia il punto \( P \). L’area di un settore circolare è data dalla formula:

\( A=\pi r^2 \cdot \frac{\alpha}{2\pi} \)

cioè l’area del cerchio per il rapporto tra l’angolo del settore e l’angolo giro. Facciamo la somma delle aree dei tre settori chiamando \( \alpha_{1} \), \( \alpha_{2} \) e \( \alpha_{3} \) i tre angoli:

\( A=\pi r^2 \cdot \frac{\alpha_1}{2\pi}+\pi r^2 \cdot \frac{\alpha_2}{2\pi}+\pi r^2 \cdot \frac{\alpha_3}{2\pi} \)

ma \( \alpha_{1}+\alpha_{2}+\alpha_{3}=\pi  \) perché sono angoli interni di un triangolo, quindi la formula dell’area dei tre settori circolare diventa:

\( A_{\text{settori circolari}}=\pi r^2 (\frac{\alpha_1}{2\pi}+\frac{\alpha_2}{2\pi}+\frac{\alpha_3}{2\pi})=\pi r^2 \frac{\pi}{2\pi}=\frac{\pi r^2}{2} \)

Sostituiamo i valori e troviamo \( A_{\text{settori circolari}}=\frac{4\pi}{2}=2\pi \)

quindi la probabilità richiesta è:

\( Prob = \frac{13,64-6,28}{13,64}= 0,54=54\% \)

Argomenti che devi sapere per risolverlo:

• Area di un triangolo;
• Area di un settore circolare;
• Calcolo delle probabilità.