Soluzione Quesito 9 Maturità 2015

18 Jun 2015

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Esame di Maturità 2015: la soluzione del quesito 9 della seconda prova di matematica.

Difficoltà: media

Argomenti che devi sapere per risolverlo:

Testo del quesito 9:

Data la funzione: \( f(x) = \begin{cases} x^3 \qquad \qquad \text{ se } 0 \le x \le 1 \\ x^2 – kx + k \quad \text{ se } 1 < x \le 2 \end{cases} \)

determinare il parametro \( k \) in modo che nell’intervallo \( [0, 2] \) sia applicabile il teorema di Lagrange e trovare il punto in cui la tesi del teorema assicura l’esistenza.

Soluzione del quesito 9:

Dobbiamo controllare che la funzione soddisfi le ipotesi del teorema di Lagrange:

  1. \( f \) continua in \( [0, 2] \)
  2. \( f \) derivabile almeno in \( (0, 2) \)

Verifichiamo la prima ipotesi:

\( f(1) = \begin{cases} 1 \qquad \qquad \text{ se } 0 \le x \le 1 \\ 1 – k + k \quad \text{ se } 1 < x \le 2 \end{cases} \Rightarrow f(1) = \begin{cases} 1 \quad \text{ se } 0 \le x \le 1 \\ 1 \quad \text{ se } 1 < x \le 2 \end{cases} \)

Allora \( f \) è continua.

Verifichiamo la seconda ipotesi:

\( f'(x) = \begin{cases} 3x^2  \quad \text{ se } 0 \le x \le 1 \\ 2x – k  \quad \text{ se } 1 < x \le 2 \end{cases} \)

Il punto \( x = 1 \) è un possibile punto critico. Controlliamo la derivata destra e la derivata sinistra in \( 1 \):

\( f'(1)^- = \lim\limits_{x \to 1^-} f'(x) = \lim\limits_{x \to 1^-} 3x^2 = 3 \\  f'(1)^+ = \lim\limits_{x \to 1^+} f'(x) = \lim\limits_{x \to 1^+} (2x – k) = 2 – k  \)

Perché \( f \) sia derivabile, la derivata destra e sinistra devono essere uguali:

\( f'(1)^+ = f'(1)^- \\ 3 = 2 – k \\ k = – 1 \)

Quindi \( f \) è derivabile per \( k = – 1 \).

Ora che abbiamo controllato le ipotesi, verifichiamo la tesi del Teorema di Lagrange.
Esiste almeno un punto \( c \in [0, 2] \) tale che:

\( f'(c) = \frac{f(b) – f(a)}{b – a} = \frac{f(2) – f(0)}{2 – 0} = \frac{(4 + 2 – 1) – 0}{2} = \frac{5}{2} \)

Calcoliamo la derivata in \( c \) e troviamo:

\( \frac{5}{2} = \begin{cases} 3c^2  \quad \text{ se } 0 \le c \le 1 \\ 2c + 1  \quad \text{ se } 1 < c \le 2 \end{cases} \)

Analizziamo i due casi:

\( 3c^2 = \frac{5}{2} \Rightarrow c^2 =\frac{5}{6} \Rightarrow c = \pm \sqrt{\frac{5}{6}} \)

Solo \( c = + \sqrt{\frac{5}{6}} \in [0, 1] \) è accettabile, poiché \( c = – \sqrt{\frac{5}{6}} \notin [0, 1] \), quindi non è accettabile.

\( 2c + 1 = \frac{5}{2} \Rightarrow 2c = \frac{5}{2} – 1 = \frac{3}{2} \Rightarrow c = \frac{3}{4} \)

\( c = \frac{3}{4} \notin [1, 2] \) quindi non è accettabile.

Il punto \( c = + \sqrt{\frac{5}{6}} \) è l’unico punto dell’intervallo \( [0, 2] \) che soddisfa la tesi del Teorema di Lagrange.

Argomenti che devi sapere per risolverlo:

 

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