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Soluzione Quesito 9 Maturità 2015 18 giu 2015
Esame di Maturità 2015: la soluzione del quesito 9 della seconda prova di matematica.
Difficoltà: media
Argomenti che devi sapere per risolverlo:
Testo del quesito 9:
Data la funzione: \( f(x) = \begin{cases} x^3 \qquad \qquad \text{ se } 0 \le x \le 1 \\ x^2 – kx + k \quad \text{ se } 1 < x \le 2 \end{cases} \)
determinare il parametro \( k \) in modo che nell’intervallo \( [0, 2] \) sia applicabile il teorema di Lagrange e trovare il punto in cui la tesi del teorema assicura l’esistenza.
Soluzione del quesito 9:
Dobbiamo controllare che la funzione soddisfi le ipotesi del teorema di Lagrange:
- \( f \) continua in \( [0, 2] \)
- \( f \) derivabile almeno in \( (0, 2) \)
Verifichiamo la prima ipotesi:
\( f(1) = \begin{cases} 1 \qquad \qquad \text{ se } 0 \le x \le 1 \\ 1 – k + k \quad \text{ se } 1 < x \le 2 \end{cases} \Rightarrow f(1) = \begin{cases} 1 \quad \text{ se } 0 \le x \le 1 \\ 1 \quad \text{ se } 1 < x \le 2 \end{cases} \)Allora \( f \) è continua.
Verifichiamo la seconda ipotesi:
\( f'(x) = \begin{cases} 3x^2 \quad \text{ se } 0 \le x \le 1 \\ 2x – k \quad \text{ se } 1 < x \le 2 \end{cases} \)Il punto \( x = 1 \) è un possibile punto critico. Controlliamo la derivata destra e la derivata sinistra in \( 1 \):
\( f'(1)^- = \lim\limits_{x \to 1^-} f'(x) = \lim\limits_{x \to 1^-} 3x^2 = 3 \\ f'(1)^+ = \lim\limits_{x \to 1^+} f'(x) = \lim\limits_{x \to 1^+} (2x – k) = 2 – k \)Perché \( f \) sia derivabile, la derivata destra e sinistra devono essere uguali:
\( f'(1)^+ = f'(1)^- \\ 3 = 2 – k \\ k = – 1 \)Quindi \( f \) è derivabile per \( k = – 1 \).
Ora che abbiamo controllato le ipotesi, verifichiamo la tesi del Teorema di Lagrange.
Esiste almeno un punto \( c \in [0, 2] \) tale che:
Calcoliamo la derivata in \( c \) e troviamo:
\( \frac{5}{2} = \begin{cases} 3c^2 \quad \text{ se } 0 \le c \le 1 \\ 2c + 1 \quad \text{ se } 1 < c \le 2 \end{cases} \)Analizziamo i due casi:
\( 3c^2 = \frac{5}{2} \Rightarrow c^2 =\frac{5}{6} \Rightarrow c = \pm \sqrt{\frac{5}{6}} \)Solo \( c = + \sqrt{\frac{5}{6}} \in [0, 1] \) è accettabile, poiché \( c = – \sqrt{\frac{5}{6}} \notin [0, 1] \), quindi non è accettabile.
\( 2c + 1 = \frac{5}{2} \Rightarrow 2c = \frac{5}{2} – 1 = \frac{3}{2} \Rightarrow c = \frac{3}{4} \)\( c = \frac{3}{4} \notin [1, 2] \) quindi non è accettabile.
Il punto \( c = + \sqrt{\frac{5}{6}} \) è l’unico punto dell’intervallo \( [0, 2] \) che soddisfa la tesi del Teorema di Lagrange.
Argomenti che devi sapere per risolverlo:
