Equazione di continuità

In questa lezione imparerai cosa si intende per portata di un fluido, sulla base di quale legge si definisce la portata in grado di circolare all'interno di un condotto e quali conseguenze tale relazione ha sulla fisica di qualsiasi problema di fluidodinamica.

Grazie ad un semplice esperimento pratico, potrai tu stesso testare la validita delle leggi che avrai appena imparato.

Appunti

L'equazione di continuità è la relazione alla base della dinamica dei fluidi. L'equazione di continuità esprime il legame esistente tra la quantità di fluido in grado di scorrere attraverso una determinata geometria, la sua velocità e lo spazio che esso ha a disposizione.

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Prerequisiti per imparare l'equazione di continuità

La portata

Prendiamo una bottiglietta di acqua, di quelle classiche che siamo abituati a trovare all'interno dei distributori automatici. Proviamo a capovolgerla e a misurare il tempo necessario perchè essa si svuoti.

Sappiamo che una bottiglietta contiene mezzo litro di acqua, possiamo quindi affermare di conoscere il volume di fluido contenuto all'interno, ma in che modo questa informazione è legata al concetto di portata?.

La portata non è altro che la massa oppure il volume di acqua che può scorrere in un'unità di tempo.

Se per esempio la bottiglietta di acqua si svuotasse in un'ora, potremmo affermare che essa ha una portata di £$0.5  \frac{l}{h}$£.

Enunciato dell'equazione di continuità

Dopo aver capito che cosa si intende per portata di un fluido, siamo pronti per affrontare l'equazione di continuità.

Tale equazione esprime il legame esistente tra la portata di un fluido, la sezione che esso incontra mentre scorre e la sua velocità.

La formulazione generale di tale legge è la seguente:

£$Q=V\cdot A$£

Dove:

£$Q$£ è la portata del fluido, espressa in [£$\frac{m^{3}}{s}$£]

£$V$£ è la velocità del fluido, espressa in [£$\frac{m}{s}$£]

£$A$£ è l'area che il fluido incontra scorrendo, misurata in [£$m^{2}$£]

Portata e velocità: un esempio pratico

L'equazione di continuità spiega come la portata che è in grado di fluire dipenda dalla velocità che il fluido ha e dall'area a sua disposizione per poter scorrere.

Questo significa che ci aspetteremo di avere un incremento di portata se aumentiamo artificialmente la velocità di un dato fluido.

Proviamo quindi a fare un brevissimo esperimento: prendiamo una bottiglietta di acqua e riempiamola, facciamo partire un timer e monitoriamo il tempo necessario all'acqua per svuotare la bottiglietta se la rovesciamo. Proviamo ora a ripetere lo stesso esperimento ma schiacciando le pareti della bottiglietta subito dopo averla capovolta, cosa noteremo? Il tempo necessario all'acqua per svuotare la bottiglia risulterà ovviamente inferiore nel secondo caso. Questo significa che, a pari quantità di acqua contenuta nella bottiglietta, sarà servito meno tempo al flusso per poterla svuotare.

In altre parole, la portata nel secondo caso risulta più alta (ricordiamoci che la portata è il rapporto tra la quantità di fluido ed il tempo nel quale esso scorre, ad un tempo minore corrisponderà perciò un valore di portata maggiore).

Il risultato del nostro esperimento è esattamente quello voluto: avendo premuto sulle pareti della bottiglietta, avremo forzato la velocità dell'acqua ad essere maggiore, come conseguenza di ciò la portata sarà aumentata, in accordo con il legame di diretta proporzionalità esistente tra le due:

£$Q=V\cdot A$£

Portata e area: un esempio pratico

Se la portata in grado di fluire dipende dalla velocità che il fluido ha e dall'area a sua disposizione per poter scorrere, possiamo affermare che, non solo incrementando la velocità, bensì anche agendo sull'area di passaggio, otterremo un aumento della portata fluente.

Proviamo quindi a fare un brevissimo esperimento: prendiamo una bottiglietta di acqua tradizionale ed una di quelle bottigliette generalmente usate per il tè che hanno il tappo più grande. Riempiamole entrambe e rovesciamole contemporaneamente facendo partire un timer per monitorare il tempo necessario all'acqua per fuoriuscire. Cosa noteremo? Il tempo necessario all'acqua per svuotare la bottiglia dal tappo largo risulterà inferiore rispetto a quello dell'altra. Questo accade poiché, a pari quantità di acqua contenuta nella bottiglietta, l'area di passaggio attraverso l'imbocco è più grande in un caso rispetto all'altro.

In altre parole, la portata in un caso risulta più alta (ricordiamoci che la portata è il rapporto tra la quantità di fluido ed il tempo nel quale esso scorre, ad un tempo minore corrisponderà perciò un valore di portata maggiore).

Il risultato del nostro esperimento è esattamente quello voluto: avendo scelto una bottiglietta in grado di offrire un'area di passaggio maggiore, avremo forzato la portata dell'acqua ad essere maggiore, in accordo con il legame di diretta proporzionalità esistente tra le due:

£$Q=V\cdot A$£