Salta al contenuto

Il teorema di Bernoulli

Luca Mussi

Luca Mussi

DOCENTE DI FISICA E MATEMATICA

Insegnante appassionato di fisica e matematica con laurea in Astrofisica. Fondatore di PerCorsi, centro di supporto allo studio con sedi a Milano e in Brianza. Appassionato di cucina, viaggi, e sport come rugby, basket e calcio. Curioso del futuro e sempre desideroso di imparare.

In questa lezione imparerai il principio fisico su cui si basa il teorema di Bernoulli, vedrai come esso può essere strettamente collegato all’equazione di continuità che lega la portata di un fluido alla sua velocità e alla sezione di passaggio. Infine, potrai provare tu stesso la validità del teorema con un semplice esempio pratico.

Nella fluidodinamica e nella fisica in generale, ci si riferisce spesso ad alcuni principi fondamentali su cui si basano le leggi di comportamento utilizzate. Un fluido che evolve da uno stato ad un altro conserverà infatti la sua massa, la sua energia e la sua quantità di moto.

A partire da uno di questi principi è possibile ricavare il teorema di Bernoulli, che risulta alla base di qualsiasi ragionamento nell’ambito della fluidodinamica.

Cos’è il teorema di Bernoulli

Il teorema di Bernoulli è conosciuto anche come equazione di Bernoulli o principio di Bernoulli, ed è una relazione che lega diversi elementi tra loro:

  • la velocità di scorrimento del fluido;
  • la pressione;
  • la densità del fluido.

Tutti questi elementi sono messi in relazione tra loro in un tubo con sezioni e altezze diverse. In questo modo viene individuata una costante nel moto dei fluidi ideali.

Enunciato del teorema di Bernoulli

Il teorema di Bernoulli deriva dalla legge di conservazione della quantità di moto. Il principio afferma che la quantità totale di pressione di un fluido, data dalla sua pressione, dalla sua velocità e dalla quantità potenziale (dovuta alla sua posizione in quota) si conserva. La formulazione del teorema di Bernoulli è la seguente:

£$p + \frac{1}{2}\cdot\varrho\cdot V^{2}+\varrho\cdot g\cdot h$£

Dove:

£$p$£ è la pressione del fluido, espressa in Pascal, £$[Pa]$£

£$\varrho$£ è la densità del fluido, espressa in £$[\frac{kg}{m^{3}}]$£

£$V$£ è la velocità del fluido, espressa in £$[\frac{m}{s}]$£

£$g$£ è l’accelerazione di gravità uguale a £$9.81 [\frac{m}{s^{2}}]$£

£$h$£ è la quota a cui si trova il fluido, espressa in metri, £$[m]$£

Il teorema di Bernoulli afferma dunque che la somma dei termini di pressione, velocità e quota di un fluido (tutti opportunamente riportati alla stessa unità di misura) si conserva nel passaggio da uno stato ad un altro. Man mano che esso evolve lungo una trasformazione che non comporti uno scambio di lavoro con l’esterno, questi tre termini possono aumentare e/o diminuire ma la loro somma resta la stessa.

Teorema di Bernoulli e equazione di continuità

Il teorema di Bernoulli afferma che la somma dei termini di pressione, velocità e quota di un fluido si conserva.

£$p + \frac{1}{2}\cdot\varrho\cdot V^{2}+\varrho\cdot g\cdot h$£

L’equazione di continuità fornisce invece una relazione tra la portata di un fluido e la sua velocità.

£$Q = V\cdot A$£

I due principi possono essere utilizzati insieme nella definizione di un dato problema fluidodinamico. Ricavando la velocità a partire dalle condizioni geometriche e di portata del flusso, è poi possibile utilizzare la stessa per poter ricavare le altre forme di energie del fluido.

Teorema di Bernoulli: applicazioni pratiche

Siccome il teorema di Bernoulli afferma che i tre termini visti fino ad ora possano aumentare e/o diminuire il loro valore mantenendo però sempre costante la loro somma, possiamo immaginare un caso pratico in cui uno dei tre termini diminuisca, lasciando spazio ad uno degli altri di aumentare.

Consideriamo per semplicità un caso in cui la pressione del fluido non varia, sono solo quota e velocità a modificarsi. Apriamo semplicemente il rubinetto di acqua e osserviamo come essa scorre. Tra lo stato iniziale rappresentante l’acqua appena al di fuori del filtro e quello finale dell’acqua appena prima di cadere nel lavandino, non si ha variazione di pressione. Essa risulta infatti pari al valore atmosferico in entrambi i punti. Ciò che cambia tra lo stato 1 e lo stato 2 è che, appena fuori dal filtro, l’acqua ha una quota potenziale maggiore di quella posseduta nello stato 2. Come conseguenza, la velocità del fluido risulterà maggiore nello stato finale, per sopperire alla minore quota. Il fenomeno può essere osservato poiché, nella parte finale, troveremo una sezione disponibile all’acqua nettamente inferiore, a rappresentare una maggiore velocità a pari portata di acqua che scorre.

Curiosità: chi è Bernoulli

Daniel Bernoulli è stato un matematico e fisico svizzero, i cui contributi sono stati particolarmente importanti soprattutto per l’applicazione della matematica alla meccanica, cioè la branca della fisica che si occupa di descrivere il movimento dei corpi materiali, e alla fluidodinamica, cioè la branca della fisica che, invece, studia i fluidi in movimento.

È stato tra i primi scienziati a formulare la teoria cinetica dei gas e ad applicare la legge di Boyle, ha lavorato con Eulero sull’elasticità e insieme hanno formulato un’equazione definita proprio l’equazione di Eulero-Bernoulli.