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Teorema di Bernoulli
In questa lezione imparerai il principio fisico su cui si basa il teorema di Bernoulli, vedrai come esso può essere strettamente collegato all'equazione di continuità che lega la portata di un fluido alla sua velocità e alla sezione di passaggio. Infine, potrai provare tu stesso la validità del teorema con un semplice esempio pratico.
Appunti
Nella fluidodinamica e nella fisica in generale, ci si riferisce spesso ad alcuni principi fondamentali su cui si basano le leggi di comportamento utilizzate. Un fluido che evolve da uno stato ad un altro conserverà infatti la sua massa, la sua energia e la sua quantità di moto.
A partire da uno di questi principi è possibile ricavare il teorema di Bernoulli, che risulta alla base di qualsiasi ragionamento nell'ambito della fluidodinamica.
Contenuti di questa lezione su: Teorema di Bernoulli
Video: l'equazione di Bernoulli
Guarda il video in cui viene presentato il teorema di Bernoulli e l'equazione di continuità.
Guarda su youtube: Equazione di Bernoulli
Grazie alla Prof.ssa Daniela Molinari
https://www.amolamatematica.it/
Testo di riferimento: Ugo Amaldi, "Dalla mela di Newton al bosone di Higgs", vol.3.
Enunciato del teorema di Bernoulli
Il teorema di Bernoulli deriva dalla legge di conservazione della quantità di moto. Il principio afferma che la quantità totale di pressione di un fluido, data dalla sua pressione, dalla sua velocità e dalla quantità potenziale (dovuta alla sua posizione in quota) si conserva. La formulazione del teorema di Bernoulli è la seguente:
£$p + \frac{1}{2}\cdot\varrho\cdot V^{2}+\varrho\cdot g\cdot h$£
Dove:
£$p$£ è la pressione del fluido, espressa in Pascal, £$[Pa]$£
£$\varrho$£ è la densità del fluido, espressa in £$[\frac{kg}{m^{3}}]$£
£$V$£ è la velocità del fluido, espressa in £$[\frac{m}{s}]$£
£$g$£ è l'accelerazione di gravità uguale a £$9.81 [\frac{m}{s^{2}}]$£
£$h$£ è la quota a cui si trova il fluido, espressa in metri, £$[m]$£
Il teorema di Bernoulli afferma dunque che la somma dei termini di pressione, velocità e quota di un fluido (tutti opportunamente riportati alla stessa unità di misura) si conserva nel passaggio da uno stato ad un altro. Man mano che esso evolve lungo una trasformazione che non comporti uno scambio di lavoro con l'esterno, questi tre termini possono aumentare e/o diminuire ma la loro somma resta la stessa.
Teorema di Bernoulli e equazione di continuità
Il teorema di Bernoulli afferma che la somma dei termini di pressione, velocità e quota di un fluido si conserva.
£$p + \frac{1}{2}\cdot\varrho\cdot V^{2}+\varrho\cdot g\cdot h$£
L'equazione di continuità fornisce invece una relazione tra la portata di un fluido e la sua velocità.
£$Q = V\cdot A$£
I due principi possono essere utilizzati insieme nella definizione di un dato problema fluidodinamico. Ricavando la velocità a partire dalle condizioni geometriche e di portata del flusso, è poi possibile utilizzare la stessa per poter ricavare le altre forme di energie del fluido.
Teorema di Bernoulli: un esempio pratico
Siccome il teorema di Bernoulli afferma che i tre termini visti fino ad ora possano aumentare e/o diminuire il loro valore mantenendo però sempre costante la loro somma, possiamo immaginare un caso pratico in cui uno dei tre termini diminuisca, lasciando spazio ad uno degli altri di aumentare.
Consideriamo per semplicità un caso in cui la pressione del fluido non varia, sono solo quota e velocità a modificarsi. Apriamo semplicemente il rubinetto di acqua e osserviamo come essa scorre. Tra lo stato iniziale rappresentante l'acqua appena al di fuori del filtro e quello finale dell'acqua appena prima di cadere nel lavandino, non si ha variazione di pressione. Essa risulta infatti pari al valore atmosferico in entrambi i punti. Ciò che cambia tra lo stato 1 e lo stato 2 è che, appena fuori dal filtro, l'acqua ha una quota potenziale maggiore di quella posseduta nello stato 2. Come conseguenza, la velocità del fluido risulterà maggiore nello stato finale, per sopperire alla minore quota. Il fenomeno può essere osservato poiché, nella parte finale, troveremo una sezione disponibile all'acqua nettamente inferiore, a rappresentare una maggiore velocità a pari portata di acqua che scorre.
