Formule - Lavoro

Un corpo di massa £$m$£ che si muove con velocità £$\vec v$£ possiede un’energia cinetica, associata al moto, definita come:

$$E_C=\frac{1}{2}mv^2$$

Una forza è detta conservativa quando il lavoro compiuto nello spostamento dell’oggetto è indipendente dalla traiettoria seguita per compiere lo spostamento e in questo caso può essere espresso come variazione dell’energia potenziale cambiata di segno:

$$L=U_A-U_B=-\Delta U$$

L’energia potenziale £$U(\vec r)$£ di un oggetto è una grandezza funzione della posizione dell’oggetto stesso ed è definibile solo per campi di forze conservativi e dipende dal tipo di forza conservativa.

La potenza è il lavoro compiuto (o assorbito) nell’unità di tempo:

$$P=\frac{dL}{dt}= \vec F \cdot \vec v$$

Nel S.I. la potenza si misura in Watt £$ \left( W=\frac{J}{s} \right) $£.

L'energia potenziale elastica di una molla di costante elastica £$k \ \left( \frac{N}{m} \right) $£, compressa o allungata di un valore £$x$£ è:

$$U_{el}=\frac{1}{2} kx^2$$

L'energia potenziale gravitazionale di un corpo di massa £$m$£ posto in un campo gravitazionale ad un’altezza £$h$£ rispetto al suolo o al livello di riferimento è:

$$U_g = mgh$$ dove si è posto il valore dell'energia potenziale gravitazionale del livello di riferimento uguale a £$0$£ (£$h_0=0\rightarrow mgh_0=0$£).

Il lavoro di una forza costante £$\vec F$£ agente su un punto materiale £$P$£ che compie uno spostamento £$\Delta \vec s\,$£ è dato dal prodotto scalare:

$$L=\vec F \cdot \Delta \vec s= F \cdot \Delta s \cdot \cos\alpha$$

dove £$\alpha$£ è l’angolo compreso tra i vettori £$\vec F$£ e £$ \Delta \vec s$£. Nel S.I. il lavoro si misura in Joule (£$J$£).

Se la forza non è costante, il lavoro della forza è dato dall’area sottesa dal grafico della forza in funzione dello spostamento.

$$L=\int_{a}^{b} \vec F \cdot d \vec s = \int_{a}^{b} F_s \cdot ds$$

dove £$F_s$£ è la componente della forza parallela allo spostamento.

Il lavoro è nullo quando la forza £$\vec F$£ è perpendicolare allo spostamento £$\Delta \vec s$£.

Nel caso di forze conservative si ha:

£$L=U_A-U_B$£, ma £$L=E_C^B-E_C^A$£, dunque £$U_A+E_C^A= U_B+E_C^B=cost$£.

L’energia meccanica $$E = E_C + U$$ di un corpo in movimento, in assenza di forze dissipative, si mantiene costante.

Il lavoro fatto dalla risultante delle forze che agiscono su un punto materiale è uguale alla variazione della sua energia cinetica:

$$L=\Delta E_C=\frac{1}{2} m v_B^2 - \frac{1}{2} m v_A^2$$

dove £$v_A$£ e £$v_B$£ sono le velocità nello stato iniziale e finale.

Se £$L>0$£, £$\Delta E_C>0$£ e il corpo acquista energia, quindi £$v_B> v_A$£, cioè la velocità della particella aumenta.

Se £$L<0$£, £$\Delta E_C<0$£ e il corpo perde energia, quindi £$v_B< v_A$£, cioè la velocità della particella diminuisce. Il teorema dell’energia cinetica vale sempre per qualsiasi forza e per qualsiasi moto.

In presenza di forze non conservative, come forze di attrito, il lavoro £$L_a$£ compiuto da queste forze è dato dalla variazione dell’energia meccanica totale:

$$L_a= \Delta E_c + \Delta U$$