Formule - Moto armonico semplice

Se un punto £$P$£ si muove di moto circolare uniforme, la sua proiezione su un diametro della traiettoria si muove di moto armonico semplice.

La relazione tra £$a(t)$£ e £$x(t)$£ rappresenta l’equazione del moto armonico semplice: $$a(t) = - \omega^2 x(t)$$ Nel caso in cui £$a(t)$£ e £$x(t)$£ soddisfano questa relazione, si ha un moto armonico semplice.

L’accelerazione di un corpo soggetto a una forza elastica, £$F=-kx$£, è direttamente proporzionale allo spostamento £$x$£ rispetto alla sua posizione di equilibrio nella direzione del moto. Quindi il suo è un moto armonico. Da cui: $$a=-\frac{k}{m} x \qquad \omega=\sqrt{\frac{k}{m}} \qquad T=2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}$$

Se il diametro scelto sta sull’asse £$x$£, la legge oraria del moto armonico semplice è: $$x(t)=A \cos(\omega t)$$ dove £$A$£ è l’ampiezza del moto £$(m)$£, £$\omega$£ la pulsazione £$\left( \dfrac{rad}{s} \right)$£ con £$\omega=\frac{2\pi}{T}=2\pi f$£, £$T$£ il periodo del moto £$(s)$£ e £$f$£ la frequenza £$(s^{-1}$£ o £$Hz)$£. Dalla legge oraria si deducono la velocità e l'accelerazione:

$$\left\{ \begin{array}{ll} {v(t)= \dfrac{dx(t)}{dt}= -A\omega \sin(\omega t)} \\ {a(t)= \dfrac{d^2 x(t)}{dt^2} = -A \omega^2 \cos(\omega t)} \end{array}\right.$$

È un esempio di moto armonico semplice anche quello di un pendolo semplice, per piccole oscillazioni:

$$a=-\frac{g}{l} x \qquad \omega=\sqrt{\frac{g}{l}} \qquad T=2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}$$

La presenza di una forza esterna resistente che ostacola l'oscillazione produce uno smorzamento e il moto armonico diventa moto armonico smorzato.

La forza smorzante (per esempio la resistenza del mezzo) è direttamente proporzionale alla velocità £$\vec v$£ e diretta in verso opposto:

$$\vec F_{sm} = - b \vec v$$

dove £$b$£ è la costante di smorzamento che dipende dalle caratteristiche fisiche del mezzo.

La seconda legge di Newton per un sistema su cui agiscono la forza elastica £$\vec F_e = - k \vec x$£ e la forza smorzante £$\vec F_{sm}=-b\vec v$£, espressa in forma scalare, è:

$$-bv -kx = ma$$

che in forma differenziale è:

$$m\frac{d^2x}{dt^2} + b \frac{dx}{dt} + kx =0$$

la cui soluzione è:

$$x(t)=x_m e^{-\frac{bt}{2m}} \cos (\omega_{sm} t + \phi)$$

dove £$x_m$£ è l'ampiezza dell'oscillazione, £$\omega_{sm}$£ è la pulsazione dell'oscillatore smorzato e £$\phi$£ è la posizione angolare iniziale £$ \big( $£spesso si assume il sistema di riferimento in cui £$\phi=0$£ e £$\omega_{sm}=\sqrt{\frac{k}{m} - \frac{b^2}{4m^2}} \big)$£.