Formulario di fisica: il potenziale elettrico

Il concetto di potenziale elettrico, al centro di molte discussioni e studi in fisica, è fondamentale per comprendere numerosi fenomeni legati all’elettricità e al magnetismo. Come l’energia potenziale in meccanica rappresenta l’energia accumulata di un corpo in virtù della sua posizione in un campo gravitazionale, allo stesso modo il potenziale elettrico rappresenta l’energia accumulata di una carica elettrica in presenza di un campo elettrico. Questo concetto ci consente di capire come le cariche si muovono all’interno di un campo, offrendo una chiara illustrazione di come le forze elettriche operano a distanza.

Dai dispositivi elettronici che utilizziamo quotidianamente ai metodi di generazione e distribuzione dell’energia elettrica, il potenziale elettrico gioca un ruolo cruciale anche nella nostra vita quotidiana: scopriamo insieme le formule principali!

• Potenziale elettrico di una carica puntiforme
• Definizione di potenziale elettrico
• Definizione di elettronvolt (eV)
• Potenziale elettrico di una distribuzione di cariche
• Relazione tra il campo elettrico e il potenziale elettrico

Potenziale elettrico di una carica puntiforme

Il potenziale elettrico nel campo generato da una carica puntiforme £$Q$£ misurato da una carica di prova £$q$£ posta a distanza £$r$£ vale:

$$V(r)=\frac{U(r)}{q}=\frac{Q}{4\pi\epsilon_0 r}$$

Definizione di potenziale elettrico

L’energia per unità di carica è il potenziale elettrico £$V$£:

$$V=\frac{U}{q}$$

La differenza di potenziale (d.d.p.) o tensione tra due punti £$A$£ e £$B$£ è:

$$V_A-V_B=\frac{U_A-U_B}{q}=\frac{L}{q}$$

Nel S.I. la tensione è misurata in volt £$ \big( V=\frac{J}{C} \big) $£.

Si può esprimere il lavoro compiuto dalla forza del campo elettrico su una carica £$q$£ che si sposta tra due punti £$A$£ e £$B$£ caratterizzati dai valori di potenziale £$V_A$£ e £$V_B$£:

$$L=q (V_A – V_B)$$

Se £$q>0$£, il lavoro sarà positivo se £$V_A > V_B$£, cioè se la carica si sposta da un punto a potenziale maggiore a un punto a potenziale minore, mentre sarà negativo se £$V_A

Definizione di elettronvolt (eV)

L’elettronvolt £$(eV)$£ è il lavoro compiuto dal campo elettrico su una carica elementare per spostarla tra due punti tra i quali la differenza di potenziale è di £$1 \ V$£:
$$1 \, eV = e (V_A – V_B) = 1,602\cdot 10^{-19} \, C \cdot 1 \, V =1,602\cdot 10^{-19} \, J$$

Potenziale elettrico di una distribuzione di cariche

Il potenziale elettrico di una distribuzione di cariche puntiformi è:

$$V = \sum_{i=1}^n V_i = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \sum_{i=1}^n \frac{q_i}{r_i}$$

Relazione tra il campo elettrico e il potenziale elettrico

Il lavoro della forza elettrica è:

$$L = \vec F \cdot \Delta \vec s = q \vec E \cdot \Delta \vec s$$

Il lavoro può essere scritto in funzione della differenza di potenziale £$\Delta V$£: £$L=-q\cdot \Delta V$£.
Uguagliando le due espressioni si ottiene:

$$\vec E \cdot \Delta \vec s = -\Delta V$$

Se il campo è uniforme, si ha £$E= -\dfrac{dV}{ds}$£; altrimenti, le componenti di £$\vec E$£ rispetto alle direzioni £$x,\,y,\,z$£ sono rispettivamente:

$$E_x= -\frac{\partial V}{\partial x}; \quad E_y= -\frac{\partial V}{\partial y}; \quad E_z= -\frac{\partial V}{\partial z}$$

È possibile determinare la differenza di potenziale come integrale di linea del campo. Poiché £$dV= -\vec E \cdot d\vec s$£, integrando si ha:

$$V_B – V_A= – \int_a^b \vec E \cdot d\vec s$$