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Moto circolare uniforme e velocità
Il moto circolare uniforme è caratterizzato dalla velocità costante su traiettoria circolare. Scopri la legge oraria che descrive questo moto e impara cosa sono l'accelerazione centripeta e la velocità angolare.
Appunti
Un corpo che si muove di moto circolare uniforme si muove con velocità tangenziale costante descrivendo una traiettoria circolare.
Anche se la velocità è costante, l'accelerazione, chiamata accelerazione centripeta, è diversa da 0 in quanto direzione e verso cambiano in ogni punto della circonferenza.
La velocità tangenziale varia a seconda della distanza dal centro, la velocità angolare invece non dipende dal raggio.
Contenuti di questa lezione su: Moto circolare uniforme e velocità
Vettori del moto circolare uniforme
La punta della lancetta di un orologio si muove con la stessa velocità, e se potessimo unire tutti i punti da cui essa passa troveremmo una circonferenza. La punta della lancetta di un orologio, se si muove senza mai fermarsi, viaggia con un moto circolare uniforme.
Il moto circolare uniforme è un moto in cui il punto materiale viaggia con la stessa velocità istantanea tangenziale su una traiettoria circolare. Il modulo del vettore velocità istantanea resta costante.
Si dice tangenziale perché nel moto circolare uniforme il vettore velocità ha direzione tangente alla circonferenza e lo stesso verso dello spostamento, che segue il senso del moto (orario o antiorario).
Un punto materiale che si muove di moto circolare uniforme percorre archi di circonferenza direttamente proporzionali agli intervalli di tempo impiegati.
Periodo e frequenza
II periodo ( £$T$£ ) è il tempo impiegato dal punto materiale per compiere un giro completo e viene misurato in secondi (£$\text{s}$£).
Il numero di giri che il punto compie in un secondo, invece, si chiama frequenza ( £$f$£ ) e si misura in Hertz (£$\text{Hz}$£).
£$1 \ \text{Hz}$£ equivale a £$\frac{1}{\text{s}}$£, quindi la frequenza equivale a £$\frac{1}{T}$£.
La velocità tangenziale, nel moto circolare uniforme, ha modulo uguale al rapporto tra lo spazio percorso e il tempo compiuto (dato che essa rimane costante) quindi possiamo calcolare il modulo della velocità dividendo la lunghezza della circonferenza per il periodo.
£$v$£ = £$\frac{C}{T}$£ = £$\frac{2\pi \ r}{T}$£
L'accelerazione del moto circolare uniforme
L'accelerazione è data dal rapporto tra la variazione della velocità e la variazione del tempo.
Anche se la velocità è costante, in ogni punto del moto l'accelerazione totale del moto circolare uniforme è diversa da 0. Questo perché l'unico elemento costante nei vettori velocità è il modulo! Gli altri due elementi (direzione e verso) non sono costanti, ma variano in ogni punto della circonferenza.
L'accelerazione è quindi il rapporto tra £$\Delta{v}$£ e £$\Delta{t}$£.
Il vettore variazione di velocità £$\Delta{v}$£, se consideriamo un piccolo intervallo di tempo £$\Delta{t}$£, è un vettore che ha come direzione una retta passante per il centro e verso rivolto verso il centro, per questo viene chiamata accelerazione centripeta (dal latino centrum = centro; petere = dirigersi).
Questo vettore avrà come modulo il rapporto tra il quadrato della velocità tangenziale e il raggio. £$a_c$£ = £$\frac{v^2}{r}$£
In altri moti circolari potrebbe essere presente anche un'accelerazione tangenziale (con direzione tangente alla circonferenza), nel moto rettilineo uniforme essa è uguale a 0.
Dimostrazione accelerazione centripeta
Due vettori velocità (£$v_A$£ e £$v_B$£) agiscono in due punti diversi della circonferenza, molto vicini tra loro (£$A$£ e £$B$£), uniamo le loro code nel punto £$A$£. Osserviamo che si forma un triangolo isoscele formato dai due vettori e dal vettore variazione di velocità £$\Delta{v}$£, dato che i due vettori velocità hanno lo stesso modulo. Tra i due vettori velocità è compreso un angolo £$\theta$£.
Osserviamo ora il triangolo formato da due raggi £$OA$£ e £$OB$£ e dal vettore spostamento che unisce i punti £$A$£ e £$B$£ (£$\Delta{s}$£). Anche questo triangolo è isoscele poiché i due raggi sono uguali. L'angolo compreso tra i due raggi è, invece, congruente all'angolo £$\theta$£, dato che i due raggi £$OA$£ e £$OB$£ sono rispettivamente perpendicolari ai vettori £$v_A$£ e £$v_B$£, e l'angolo compreso tra due semirette è congruente all'angolo compreso tra due semirette perpendicolari a quelle date.
Quindi per il secondo criterio di similitudine i due triangoli sono simili, e quindi vale la proporzione £$\dfrac{r}{v} = \dfrac{\Delta{s}}{\Delta{v}}$£.
In questo caso i due punti £$A$£ e £$B$£ sono molto vicini, quindi possiamo approssimare l'arco £$AB$£ ad un segmento £$AB$£ congruente a £$\Delta{s}$£.
Quest'ultimo è dato dal prodotto £$v \ \cdot \ t$£, visto che la velocità tangenziale è costante.
Ora la proporzione si può scrivere cosi: £$\dfrac{r}{v} = \dfrac{v \ \cdot \ t}{\Delta{v}}$£
Quindi £$\Delta{v}$£ = £$\dfrac{v^2 \ \cdot \ t}{r}$£
Ma £$a_c$£ = £$\dfrac{\Delta{v}}{\Delta{t}}$£; quindi £$a_c$£ = £$\dfrac{v^2}{r}$£
La velocità angolare
Nel moto circolare uniforme la velocità tangenziale varia a seconda della distanza dal centro (raggio).
Esempio.
Se una mosca dovesse trovarsi aggrappata alla punta di un elica di un elicottero andrà sicuramente più veloce di un'altra che si trova aggrappata a pochi centimetri dall'albero rotante.
Infatti abbiamo visto che £$v$£ = £$\frac{2\pi \ \cdot \ r}{T}$£; quindi la velocità tangenziale (o istantanea) è direttamente proporzionale al raggio.
Ciò che non varia a seconda del raggio è invece la velocità angolare (£$\omega$£), definita come la variazione di un angolo nel tempo.
Questa grandezza è una grandezza vettoriale che ha come direzione l'asse di rotazione (perpendicolare al piano di rotazione), verso uscente dal piano se il giro è antiorario (entrante se viceversa) e modulo equivalente al rapporto tra l'angolo spazzato dal raggio in un intervallo di tempo in radianti e il tempo stesso.
La velocità angolare si misura in £$\frac{rad}{s}$£.
£$\omega$£ = £$\frac{\theta}{t}$£
Se non ricordi gli angoli in radianti, clicca qui!
La velocità angolare si può anche ricavare dal rapporto £$\frac{velocità \ tangenziale}{raggio}$£ → £$\omega$£ = £$\frac{v}{r}$£;
£$\omega$£ è infatti la costante di proporzionalità del rapporto £$\frac{v}{r}$£.
Esempio.
In un tempo equivalente al periodo il raggio spazza un angolo giro:
(£$360°= 2\pi$£), quindi basta conoscere il periodo per trovare la velocità angolare di un moto circolare uniforme: £$\omega$£ = £$\frac{2\pi}{T}$£
£$a_c$£ = £$\frac{v^2}{r}$£ quindi £$a_c$£ = £$\frac{\omega^{2}r^2}{r}$£ = £$\omega^{2}r$£
L’Enterprise in orbita intorno al pianeta Redooc
L’Enterprise in orbita intorno al pianeta Redooc: soccorso o imboscata?
Un segnale di soccorso arriva all’Enterprise dalla superficie di un pianeta nella zona neutrale, contesa tra la Federazione e l’Impero Cardassiano. Un trasporto cargo di capodogli è scomparso da qualche giorno e il capitano Picard si augura che si tratti proprio di loro, atterrati o più probabilmente ammarati con urgenza su Redooc. Il segnale è fisso sulla superficie, a 45° di latitudine Nord: ha le caratteristiche di un segnale federale, ma non è possibile escludere che si tratti di un’imboscata cardassiana per attirare navi federali intorno a Redooc. Il pianeta è adatto alla vita terrestre ed ospita una specie di tartarughe intelligenti particolarmente dotate per la matematica e decisamente contese tra Federazione e Cardassia.
L’Enterprise si occulta e entra in orbita intorno al pianeta, girando solidalmente al segnale, per cercare di accertarne la natura: sì, la richiesta proviene da un punto sotto la superficie oceanica e potrebbe trattarsi del cargo di capodogli scomparso.
Le tartarughe intelligenti di Redooc riescono a mandare un messaggio criptato all’Enterprise: garantiranno l’occultamento alla nave della Federazione, che può ammarare in corrispondenza del punto in cui il cargo di capodogli è ammarato. L’Enterprise ruota circolarmente sulla superficie marina, alla stessa velocità di Redooc; tenendosi quindi sempre ferma rispetto alla sorgente sottomarina del segnale, la nave stellare descrive quindi una circonferenza a velocità costante, caratteristica del moto circolare uniforme.
Il pianeta ruota su se stesso con una velocità ω, detta velocità angolare, che si misura in radianti al secondo. Il radiante è un numero puro, non ha quindi dimensioni ed è l’unità di misura standard, per gli angoli: dato un cerchio, 1 radiante equivale a un arco di circonferenza lungo quanto il raggio del cerchio.
Legge oraria di un astronave in esplorazione: moto circolare uniforme
L’Enterprise, ammarata su Redooc, percorre un radiante per ogni un arco di circonferenza lungo quanto il raggio del pianeta. Il tempo impiegato dalla nave stellare nel suo moto circolare uniforme si indica con il periodo £$T$£, espresso in secondi: £$T = \frac {2π}{\omega}$£.
L’Enterprise, mentre investiga la natura del segnale sottomarino, ha una velocità angolare £$\omega$£ e un periodo £$T$£, che non sono altro che la velocità angolare e il periodo del pianeta stesso. Ma qual è la sua velocità, in £$m/s$£, rispetto al sistema di riferimento planetario?
La circonferenza descritta ora dall’orbita della nave stellare è £$C = 2πr$£, dove £$r$£ è il raggio del pianeta; ferma sulla superficie del mare, l’Enterprise si muove comunque rispetto al sistema di riferimento planetario, un sistema tridimensionale con origine nel centro di Redooc, asse £$z$£ che esce dal Polo Nord, asse £$x$£ e asse £$y$£ sul piano equatoriale del pianeta, a 90° l’uno dall’altro e a 90° dall’asse £$z$£.
In questo sistema di riferimento, la velocità di un corpo sulla superficie planetaria è £$v = \omega r$£. Lo spazio percorso dall’astronave, fermo sull’oceano di Redooc, è un arco di longitudine planetaria £$\theta$£, percorso nell’intervallo di tempo £$t$£ .
La legge oraria che regola il moto circolare uniforme è:
£$\theta$£ = £$\frac{2πt}{T}$£ = £$\omega t$£
Era una trappola!
L’Enterprise non fa in tempo a percorrere un £$\Delta\theta$£ sulla superficie marina, che un raggio traente proveniente dal fondo oceanico arriva sullo scafo, tentando di bloccarla. La nave stellare riesce a decollare, ma viene definitivamente fermata a una distanza pari al doppio del raggio, o al diametro, di Redooc. Ora è in orbita, ma tenuta legata alla superficie dal raggio traente: è evidentemente una trappola cardassiana e non è chiaro se le tartarughe di Redooc si siano prestate alla trappola o ne siano vittime inconsapevoli.
Tenuta al laccio, l’Enterprise assume un’accelerazione £$a$£ = £$\omega v$£
ossia £$a$£ = £$2r \omega $£
