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Esempi dei tre Principi della Dinamica

Qui trovi tre esempi sui principi della dinamica: la “trappola” delle tartarughe intelligenti di Redooc, il moto e la stasi dell’Enterprise lontano da un pianeta o da una stella, l’arrivo di un meteorite e l’atterraggio/ammaraggio su Redooc, il galleggiamento sull’oceano e l’azione e la reazione.

Esempi sui tre principi della dinamica:

  • l’Enterprise arriva nel sistema planetario di Redooc
  • l’Enterprise, colpita da un meteorite, atterra su Redooc
  • l’Enterprise, arriva sulle acque di Redooc

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l’Enterprise arriva nel sistema planetario di Redooc - Primo principio della Dinamica

L’Enterprise, in volo verso il pianeta Redooc per rispondere alla richiesta di soccorso, si trova all’interno di un sistema di riferimento inerziale, il sistema solare di Redooc, ossia un sistema che è indipendente ed esterno rispetto al corpo che stiamo considerando, la nave stellare, e che ci permette di descrivere la sua posizione e/o il suo moto senza provocare sulla nave spaziale modifiche nella sua velocità o senza essere modificato in alcun modo dall’oggetto che stiamo considerando.

Una nave stellare ha, infatti, dimensioni e massa talmente piccole rispetto a quelle del sistema planetario (in fisica diremmo trascurabili) che il sistema di Redooc può essere considerato un sistema di riferimento inerziale, una cornice indipendente dalla stasi (o dal moto rettilineo uniforme) dell’Enterprise. Nello spazio interplanetario, è lecito considerare che se la nave stellare spegnesse i motori (sufficientemente lontano da un pianeta o da una stella!) oppure avesse carburante infinito e viaggiasse all’infinito a velocità costante si muoverebbe indefinitamente di moto rettilineo uniforme; se l’Enterprise decidesse invece di fermarsi in un punto preciso nello spazio interplanetario (di nuovo, sufficientemente lontano da un pianeta e da una stella in modo tale da non cominciare l’inesorabile caduta verso l’uno o l’altra), resterebbe in quiete, o in una condizione di stasi, indefinitamente.  

All’interno di un sistema di riferimento inerziale, un corpo mantiene la propria condizione di quiete o di moto rettilineo uniforme indefinitamente, se non intervengono forze esterne ad agire su di esso e a modificare la sua condizione di quiete o di moto rettilineo uniforme.” è il primo Principio della Dinamica, o la prima Legge del Moto.

 

La dinamica è quella branca della fisica che mette in relazione il movimento di un corpo con le cause di questo movimento o, meglio ancora, con le cause che portano a modifiche nel modulo, nella direzione e/o nel verso del movimento di questo corpo.

In assenza di cause che modifichino il movimento della nave stellare, essa persisterebbe in una condizione di quiete o di moto rettilineo uniforme: in termini fisici e in espressione matematica, la sommatoria vettoriale delle forze agenti sull’Enterprise è uguale a zero. 

£$\sum{\vec{F}= 0}$£

 

Un corpo mantiene la stasi o il moto rettilineo uniforme se l’insieme delle forze che agiscono su di esso è, vettorialmente, uguale a zero e, di conseguenza, se l’insieme delle forze non fa cambiare la velocità del nostro corpo, ossia non induce un’accelerazione (o una decelerazione) alla nostra nave stellare. Possiamo quindi scrivere, per la nostra Enterprise:

£$\sum{\frac{d\vec{v}}{dt} = 0}$£,

 

cioè £$\sum{\vec{a}= 0}$£

ossia l’insieme delle forze che agiscono sull’Enterprise non è tale per cui vi sia, per la nave stellare, variazione di velocità rispetto al tempo.

Il primo Principio della Dinamica è, per questo, detto anche Legge dell’Inerzia, dove l’inerzia è la resistenza che un corpo oppone alla modifica della sua velocità in senso vettoriale (modifiche al modulo, alla direzione, al verso del suo movimento): naturalmente, se la velocità del corpo è zero (Enterprise parcheggiata nello spazio), ogni modifica della sua velocità è una rottura della situazione d’inerzia.

L’Enterprise, colpita da un meteorite, atterra su Redooc - Secondo Principio della Dinamica

L’Enterprise, che si è parcheggiata sufficientemente lontano da Redooc per permetterci di presentare comodamente il primo principio della dinamica, si è messa in una condizione pericolosa, lì ferma (o in moto rettilineo uniforme) a motori spenti nella Zona Neutrale. Non si vedono navi nemiche ma, come spesso accade in un sistema planetario, meteoriti e vari detriti interstellari viaggiano per il sistema e non aspettano altro che collidere contro un oggetto intento a non modificare la sua condizione di stasi o di moto rettilineo uniforme.
Un meteorite colpisce l’Enterprise ferma lontano dall’orbita di Redooc e, pur non essendo in grado di danneggiarla seriamente, la fa spostare di un chilometro, ossia imprime alla nave stellare una modifica della propria velocità in termini di modulo, direzione e verso: a seguito della collisione con l’asteroide, sulla nave stellare £$\sum{\vec{F} \neq 0}$£ e, in particolare, £$\sum{\vec{a} \neq 0}$£

La sommatoria delle forze agenti sull’Enterprise è ora diversa da zero, e l’accelerazione della nave stellare è, ora, diversa da zero. Qual è la Forza che è stata impressa all’Enterprise?  E, soprattutto, che cos’è questa Forza?
L’accelerazione impressa dall’asteroide sull’Enterprise, moltiplicata per la massa della nave stellare, è la Forza agente sull’Enterprise. In termini matematici £$\vec{F} = m \vec{a}$£ e, più in generale, £$\sum{\vec{F}} = m \sum{\vec{a}}$£.

Il secondo Principio della Dinamica, o seconda legge del Moto: “Una Forza, applicata ad un corpo, imprime un’accelerazione che è direttamente proporzionale alla forza applicata, e inversamente proporzionale alla massa del corpo stesso”.

Le dimensioni e l’unità di misura della grandezza fisica “Forza” possono essere ricavate dal secondo principio della dinamica: la massa è misurata in chilogrammi, l’accelerazione in metri al secondo ogni secondo. Dimensionalmente, la Forza sarà espressa in £$\text{kg} \times (\frac{\text{m}}{\text{s}^2})$£ e, in onore, a colui che ha definito i principi della dinamica, Isaac Newton, 1 newton (£$\text{N}$£) è la forza che, impressa ad un corpo di £$1 \text{kg}$£, causa un’accelerazione di un metro al secondo per ogni secondo.   
Un corpo fermo sulla superficie di un pianeta è sempre soggetto almeno ad una forza, la forza di gravità, che è direttamente proporzionale all’accelerazione gravitazionale del pianeta stesso. Sulla Terra, a 45° di latitudine Nord, l’accelerazione di gravità è, in valore assoluto, £$g = 9,807 \frac{\text{m}}{\text{s}^2}$£, e l’espressione del secondo principio della dinamica per una nave stellare atterrata e ferma su un pianeta è, semplicemente £$\vec{F} = m \vec{g}$£.

Su Redooc, il fatto che si siano evolute tartarughe intelligenti dalle caratteristiche metaboliche simili alle tartarughe terrestri fa pensare ad un’accelerazione di gravità di modulo assai simile a quello della Terra; in termini vettoriali, però, quello che è assolutamente identico sulla Terra e su Redooc è la direzione e il verso di £$\vec{g}$£: il verso è verso il basso, ossia verso il centro di massa del sistema pianeta-nave stellare e la direzione è lungo una retta che congiunge il centro di massa con il punto in cui si trova la nave stellare.
Perché l’Enterprise sia in quiete sulla superficie degli oceani di Redooc, in corrispondenza con il segnale di soccorso inviato dal cargo di capodogli (o con la trappola tesa dalle tartarughe di Redooc), la sommatoria delle forze agenti su di essa dev’essere uguale a zero. In questo caso, poiché sulla superficie del pianeta agisce almeno £$\vec{F} = m \vec{g}$£, la quiete dell’Enterprise sulle onde può essere bilanciata dalla spinta di Archimede, meglio detta forza idrostatica (che indichiamo come £$F_a$£), di espressione:

£$F_a = \rho_a g V_a$£ 

Dove £$\rho_a$£ è la densità dell’acqua dell’oceano di Redooc, £$g$£ è l’accelerazione gravitazionale del pianeta, e £$V_a$£ è il volume del fluido spostato dalla semi-immersione dell’Enterprise.

£$F = \rho_a g V_a$£ è, a sua volta, un’espressione di £$F = ma$£: £$g$£ è un’accelerazione e la densità £$\rho$£ è £$\rho = \frac{m_a}{V_a}$£, massa fratto volume, dove la massa e il volume sono  quelli dell’acqua spostata.
Nel caso in cui le due forze si bilancino, ossia nel caso in cui la loro somma sia davvero zero, abbiamo verificato l’equilibrio delle forze e, per la nostra nave spaziale in esplorazione, il galleggiamento sulla superficie dell’oceano.
La somma delle forze agenti sull’Enterprise, ammarata e galleggiante sulla superficie dell’oceano delle tartarughe, è quindi: 

£$\sum{\vec{F}}= m \vec{g}+ \rho_a \vec{g} V_a = 0$£

oppure, in valore assoluto, semplicemente

£$m g + \rho_a g V_a = 0$£

L’Enterprise, arriva sulle acque di Redooc - Terzo Principio della Dinamica

L’equazione precedente, che determina la quiete (o il tranquillo galleggiamento) dell’Enterprise ammarata, intenta a fare le sue indagini circa il segnale misterioso inviato dalle profondità dell’oceano di Redooc, ci fa vedere come l’arrivo della nave stellare sulle acque del pianeta provochi una reazione dall’oceano una forza di modulo uguale a quella rappresentata da £$m g$£, con la stessa direzione ma con verso opposto.

Una volta ancora l’Enterprise permette la formulazione di un Principio della Dinamica, il Terzo: “Ad ogni forza che un corpo x imprime ad un corpo y, corrisponde istantaneamente una forza impressa dal corpo y al corpo x, uguale in modulo alla prima, e agente con stessa direzione e verso opposto”.
La forza impressa dalla nave stellare Enterprise genera una reazione dall’acqua dell’oceano spostata nel momento dell’ammaraggio; questa reazione ha valore assoluto uguale alla forza impressa dall’Enterprise, direzione uguale ma verso opposto: tende, cioè, a spingere la nave stellare verso l’alto.
Considerando il verso opposto nel quale le due forze agiscono, è necessario indicarle con segno opposto.  

Lo stesso principio di azione e reazione vale quando, attivato il raggio traente dal fondo dell’oceano, l’Enterprise fugge verso lo spazio aperto fino ad essere intrappolata ad una distanza di due raggi planetari di Redooc: la forza impressa dal raggio sulla superficie esterna della nave stellare provoca, per quanto difficile da immaginare, una reazione uguale (in modulo  e direzione) e opposta (in verso) proprio sul raggio e sul dispositivo che l’ha emesso.  
Il tentativo dell’Enterprise di liberarsi dal raggio traente, che la tiene bloccata e quasi incatenata alla superficie planetaria, causa a sua volta la reazione del raggio e del suo dispositivo, che trattengono l’astronave attraverso una reazione uguale e contraria: il verso “verso l’esterno” preso dall’Enterprise è controbilanciato dal verso “verso l’interno”, e lungo la stessa direzione, della forza di reazione del raggio traente.