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I moti parabolici
I moti parabolici sono la sovrapposizione di due diversi moti: moto rettilineo uniforme e moto uniformemente accelerato. Impara come si scrivono le formule delle leggi orarie di questo moto!
Appunti
I moti parabolici descrivono il movimento di un oggetto lanciato in orizzontale; sono la sovrapposizione di un moto rettilineo uniforme e un moto uniformemente accelerato.
Un corpo compie una traiettoria parabolica se è soggetto ad un'accelerazione nella direzione verticale del moto stesso, mentre in quella orizzontale persiste una velocità costante. Il moto parabolico, quindi, si divide in una componente orizzontale ed una verticale.
La distanza orizzontale percorsa dal corpo si chiama gittata.
Contenuti di questa lezione su: I moti parabolici
Il moto di un oggetto lanciato in orizzontale
Se facciamo rotolare una pallina su un tavolo, cade seguendo una traiettoria parabolica.
Il moto della pallina è un moto bidimensionale lungo degli ipotetici assi x e y. Per poter studiare questo moto bisogna individuare le diverse leggi orarie che si verificano lungo questi due assi.
Lungo l'asse x il moto del corpo è rettilineo uniforme, in cui £$x$£ indica lo spazio orizzontale percorso e £$v_x$£ è la velocità orizzontale dell'oggetto, diversa da £$0$£.
La legge oraria del moto è:
£$x = v \cdot t $£
Lungo l'asse y il moto del corpo segue la legge oraria di un corpo che cade verso il basso, quindi uniformemente accelerato in cui la £$v_{i} = 0$£ e lo spazio £$S$£ è l'altezza da cui parte il corpo considerato.
La legge oraria del moto è:
£$\begin{cases} S = \frac {1}{2} g · t^{2} \\ x = v_x \cdot t \end{cases}$£
La traiettoria del moto nella sua totalità è, quindi, un ramo di parabola e il punto di partenza del moto è il vertice della parabola considerata.
Moto con velocità obliqua
Come fa Totti a fare il "cucchiaio" quando batte i rigori? Usa la fisica!
Il pallone compie una traiettoria parabolica grazie al fatto che il calciatore gli imprime una velocità obliqua £$v_{0}$£ di inclinazione £$\alpha$£ rispetto al suolo. Spesso questo tipo di moto, insieme al moto parabolico con £$v_i$£ orizzontale è detto moto di un proiettile.
Questo è un moto bidimensionale lungo un ipotetico asse x e un ipotetico asse y.
Durante questo moto il corpo è soggetto solo all'accelerazione di gravità £$g$£ e agli attriti dell'aria, che possono essere trascurati.
Essendo un moto bidimensionale, per poterlo studiare bisogna individuare le diverse leggi orarie che si verificano lungo l'asse x e y e quindi bisogna scomporre la velocità, che, essendo obliqua, è formata da una componente £$v_{x_0}$£ lungo l'asse x e da una componente £$v_{y_0}$£ lungo l'asse y:
- La componente lungo l'asse x è: £$v_{x_0} = v_{0} · \cos{\alpha}$£
- La componente lungo l'asse y è: £$v_{y_0} = v_{0} · \sin{\alpha}$£
L'angolo £$\alpha$£ è l'angolo acuto compreso tra il vettore £$v_0$£ e la retta del suolo.
Leggi orarie del moto con velocità obliqua
Lungo l'asse £$x$£ il moto è un moto rettilineo uniforme in cui la velocità sarà la componente £$v_{x_0}$£ della velocità iniziale £$v_{0}$£ e lo spazio £$S$£ sarà la gittata, ovvero la distanza orizzontale totale percorsa dal corpo.
La legge del moto lungo l'asse £$x$£ è:
$$x = v_{x_0} · t$$
Per la gittata esiste una formula alternativa che è:
$$G = \frac{2 v_{0}^2 \sin\alpha \cos\alpha}{g} $$
La legge del moto lungo l'asse £$y$£ è quello di un corpo lanciato verso l'alto e lo dividiamo quindi in due parti:
Nella prima parte il moto è uniformemente decelerato in cui la decelerazione è pari all'opposto dell'accelerazione gravitazionale £$g$£ e lo spazio è pari all'altezza massima raggiunta dal corpo. Nel momento in cui il corpo raggiunge l'altezza massima la sua velocità è nulla e inizierà a precipitare verso il basso.
La legge oraria lungo l'asse £$y$£ della prima parte del moto è:
$$\begin{cases} S = -\frac {1}{2} g \cdot t^{2} + v_{y_0} \cdot t \\ v_{F} = -g \cdot t + v_{y_0}\end{cases} $$
Nella seconda parte il moto sarà uniformemente accelerato con £$v_{i} = 0 $£ e spazio £$S$£ pari all'altezza in cui si trova.
La legge oraria lungo l'asse £$y$£ della seconda parte del moto è:
$$\begin{cases} S = \frac {1}{2} g \cdot t^{2} \\ v_{F} = g \cdot t \end{cases} $$
A parità di velocità £$v_0$£ si ottiene la gittata massima quando il vettore velocità iniziale è inclinato di 45° rispetto al suolo.
Moto parabolico: come combattere sulla superficie di un pianeta?
Come si combatte sulla superficie di un pianeta?
A distanze planetarie, e nelle serie di fantascienza, si può colpire la nave stellare nemica con i mezzi più disparati, dai raggi fotonici (che, ehm, altro non sarebbero che la luce), ai siluri laser per perforare e distruggere lo scafo del nemico, alle interferenze spazio-temporali per generare il caos su una nave stellare facendola trovare contemporaneamente nel passato e nel futuro. La fisica relativistica può rincorrere la fantascienza e dare una spiegazione alle armi più fantasiose, ma non c’è dubbio che, nella guerra su una superficie planetaria, come quella ingaggiata dall’Enterprise e le tartarughe intelligenti di Redooc, il modo più conveniente per colpire un avversario sia quello di… lanciargli contro qualcosa!
"Più in alto, più veloce, più forte": il motto delle Olimpiadi, con le dovute assunzioni, è adatto anche a descrivere il modo più efficiente per colpire un avversario, specialmente una nave stellare atterrata sulla superficie planetaria, che abbia appena fatto rotolare via una tartaruga dalla propria rampa d’attracco. La reazione delle tartarughe intelligenti di Redooc non si fa attendere: considerata l’accelerazione gravitazionale del pianeta, e la necessità di tenersi a una distanza di sicurezza dalla nave stellare, il modo più efficiente per recare un danno a un avversario è affidarsi a un moto parabolico, ossia affidarsi al lancio di oggetti, dalle frecce alle palle di cannone, alle bombe, antico quanto l’arte della guerra.
Il moto parabolico permette allo stesso tempo di sfidare e sfruttare la forza peso che attrae un proiettile verso il centro del pianeta: data una sufficiente forza al lancio verso l’alto, e dato un angolo adeguato al lancio verso l’alto, si può massimizzare la resa offensiva del lancio e il moto uniformemente accelerato che accompagna il proiettile verso il suo bersaglio.
Qual è il miglior angolo d’attacco? Perché non conviene lanciare proiettili su Marte (almeno nella bella stagione)?
Il proiettile, o meglio, la gragnuola di proiettili lanciati verso la nave stellare dalle tartarughe di Redooc, ha un moto composito: la parabola descritta, infatti, avviene su un piano (cartesiano, perché no?) sul quale si possono scomporre le componenti verticale e orizzontale della velocità £$v$£ del proiettile, analoghe a quelle che la tartaruga sferica ci ha mostrato sulla rampa dell’Enterprise.
Se l’angolo di lancio è £$\theta$£, la componente del vettore velocità lungo la direzione orizzontale £$x$£, £$vx$£, sarà
£$vx = v\cos{\theta}$£
e la componente del vettore velocità lungo la direzione verticale £$y$£, £$vy$£, sarà
£$vy = v\sin{\theta}$£
Lungo la direzione orizzontale, su un pianeta come la Terra o come Redooc (che tanto diverso dalla Terra non può essere, avendo permesso l’evoluzione delle tartarughe intelligenti) non vi sono ulteriori velocità in azione se non quella impressa inizialmente dal lancio: su un pianeta come Venere, ad esempio, o su Marte durante uno dei potenti dust devils, le tempeste di sabbia che, nella primavera e nell’estate marziana arrivano a dimensioni ciclopiche, non sarebbe mai possibile trascurare la velocità del vento che invariabilmente spazza la superficie e che complicherebbe il moto del proiettile lungo l’asse £$x$£.
Lungo la direzione verticale, naturalmente, agisce anche la velocità impressa dalla forza peso, £$vp = -gt$£, in cui il segno meno è dovuto al verso opposto della velocità di caduta (caratteristica di un moto uniformemente accelerato) rispetto al verso del lancio.
La velocità dei proiettili in funzione del tempo, £$v(t)$£, risulterà essere, complessivamente:
£$v(t) = v\cos{\theta} + v\sin{\theta} – gt$£
Le tartarughe si sono già poste il problema di massimizzare questa velocità, perché i proiettili siano sufficientemente veloci da sorprendere l’Enterprise: vista l’equazione, il modo per massimizzare £$v$£ è quello di massimizzare la somma (£$v\cos{\theta} + v\sin{\theta}$£), considerato che ben poco si può fare con la £$g$£, ossia di cercare l’angolo £$\theta$£ ideale per cui la somma sia massima.
Nel nostro piano cartesiano, in cui l’asse £$x$£ è la superficie del pianeta e l’asse £$y$£ va verso l’alto perpendicolarmente ad £$x$£, questo valore è 45° dall’orizzontale.
Scoperta la velocità £$v(t)$£ del moto parabolico, e come massimizzare la velocità stessa in ragione dell’angolo di lancio, si può ricavare la legge oraria del moto parabolico nelle due direzioni £$x$£ e £$y$£.
Partiamo da £$y$£, ossia la legge oraria che descrive il moto nella sua componente verticale, ossia la posizione dei proiettili lungo l’asse £$y$£ per ogni istante £$t$£:
£$y(t) = vt\sin{\theta} – (1/2)gt^2$£
All’istante finale £$t_fin$£ , nella migliore delle ipotesi, £$y(t_fin)$£ è il bersaglio, o la posizione lungo la verticale in cui il proiettile colpisce l’astronave.
Lungo l’orizzontale, invece, la legge oraria £$x(t)$£ sarà:
£$x(t) = vt\cos{\theta}$£
La traiettoria parabolica complessiva sarà data dal rapporto tra la legge oraria lungo la verticale e la legge oraria lungo l’orizzontale, ossia £$y(t)/x(t)$£:
£$y/x$£
= £$(vt\sin{\theta}-(1/2)gt^2)/(vt\cos{\theta})$£
Ossia, semplificando il tempo e la velocità,
£$y/x$£
= £$\tan{\theta} - gt/(2v\cos{\theta})$£
Per arrivare a bersaglio, dunque, le tartarughe di Redooc devono aver studiato le due leggi orarie, la traiettoria del moto parabolico e selezionato la velocità di lancio e l’angolo ideali per colpire l’Enterprise.
