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Il pendolo
Il pendolo è un corpo che si muove con un moto armonico particolare. Impara le sue caratteristiche e la legge oraria, scopri cos'è il pendolo di Focault.
Appunti
Il pendolo è un oscillatore armonico. Si muove di moto armonico, descrivendo un arco di circonferenza.
Per analizzare il moto usiamo un sistema di assi cartesiani non fisso, ma che ruota seguendo la traiettoria del corpo oscillante.
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Caratteristiche del pendolo
Il pendolo (una pallina appesa ad un filo) è composto da una massa £$m$£ che oscilla attaccata ad un filo inestensibile di massa trascurabile.
Un pendolo è in equilibrio quando la massa £$m$£ è ferma e il filo è perfettamente verticale.
Se la massa viene spostata dalla posizione di equilibrio (dalla verticale) inizierà ad oscillare lungo un piano verticale a causa del richiamo del suo peso che tenta di ricondurla nella posizione di equilibrio. Se non ci fossero attriti il pendolo oscillerebbe all'infinito (l'oscillazione continuerebbe uguale a se stessa).
Il pendolo è un esempio di oscillatore armonico poichè è soggetto ad una forza di richiamo direttamente proporzionale allo spostamento rispetto alla posizione di equilibrio.
La traiettoria descritta dal moto è un arco di circonferenza che ha centro nel punto di ancoraggio del filo e raggio pari alla lunghezza del filo stesso.
Il moto di un pendolo
Per analizzare il moto di un pendolo occorre creare un sistema di riferimento cartesiano in cui:
- l'asse £$y$£ ha la stessa direzione del filo (di lunghezza L)
- l'asse £$x$£ è tangente alla traiettoria del moto.
Questo riferimento cartesiano non è fisso ma ruota seguendo il moto del corpo oscillante.
Quindi, la forza peso £$F_p$£ deve essere divisa nelle sue componenti x e y:
£$F_{p_y} = m \cdot g \cos\alpha $£
£$F_{p_x} = -m \cdot g \sin\alpha $£
La componente in £$y$£ viene controbilanciata dalla tensione £$T$£, quindi la risultante delle forze lungo l'asse y è nulla.
£$\vec{F}{p_y} = -\vec{T} $£
La componente in £$x$£ ha segno negativo perchè è una forza di richiamo che tende a riportare il corpo nella posizione di equilibrio e, infatti, è opposta al verso del moto.
La forza del pendolo
Dalla formula della componente in £$x$£ del peso £$F_{p_x} = -m \cdot g \sin\alpha $£ si deduce che questa forza è direttamente proporzionale a £$\sin\alpha $£.
Per angoli £$0°<\alpha<10°$£ si può dimostrare che il £$\sin\alpha $£ è pressochè uguale ad £$\alpha$£, purchè sia espresso in radianti, di consequenza si può dire che, nelle oscillazioni contenute in questo range di valori, la componente in £$x$£ è direttamente proporzionale all'angolo stesso.
£$\begin{cases} F_{p_x} = - m \cdot g \cdot \sin\alpha \\ \sin\alpha = \alpha \end{cases}$£ ⇒ £$ F_{p_x} = - m \cdot g \cdot \alpha$£
Questa approssimazione viene utilizzata, per semplicità di calcolo, anche con angoli maggiori di £$10°$£.
Allo stesso modo, per semplicità, anche lo spostamento del pendolo lungo l'asse £$x$£ può essere approssimato all'arco di circonferenza descritto durante il moto. Quindi:
se: £$\begin{cases} \sin\alpha = \frac {\overset{\displaystyle \frown}{AB}}{L} \\ \sin\alpha = \alpha \\ \overset{{\displaystyle \frown}}{AB} = x \end{cases}$£
allora: £$ \alpha = \frac{x}{L}$£ (dove L è la lunghezza del filo.)
Infine, riprendendo la formula inziale £$ F_{p_x} = - m \cdot g \cdot \alpha$£, sostituendo £$ \alpha = \frac{x}{L}$£, possiamo esprimere la forza del pendolo come:
£$ F_{p_x} = - m \cdot g \cdot \frac{x}{L}$£ oppure £$ F_{p_x} = - (\frac{m \cdot g}{L}) \cdot {x}$£
Attenzione!
Quest'ultima formula è analoga alla forza elastica, in questo caso la costante £$k$£ è £$\frac{m \cdot g}{L}$£ e si misura in £$\frac{N}{m}$£, proprio come la costante elastica della molla.
Il periodo del pendolo
Come si calcola il periodo del pendolo?
Ricaviamo dalla formula della forza del pendolo £$ F_{p_x} = - (\frac{m \cdot g}{L}) \cdot {x}$£ che la costante £$k$£ è pari a £$\frac{m \cdot g}{L}$£
Sostituiamo la costante nella formula del periodo del moto armonico della molla £$T = 2π \sqrt{\frac{m}{k}}$£
Ricaviamo che il periodo del pendolo è pari a £$T = 2π \sqrt{\frac{L}{g}}$£ (in cui £$L$£ è la lunghezza del pendolo).
Il pendolo di Foucault
Nel 1851 Foucault eseguì un esperimento con un pendolo di massa pari a £$30 Kg$£ e appeso ad una fune lunga £$68 m$£.
L'esperimento venne svolto nel Phanteon di Parigi e si notò che, a differenza di un pendolo ideale che oscilla sempre lungo un medesimo piano verticale, il pendolo di Foucalt, col passare del tempo, descrive un settore circolare.
L'esperimento aveva l'obiettivo di dimostrare l’esistenza della rotazione terrestre.
Non è il pendolo ad avere un oscillazione alterata rispetto al modello ideale ma è la Terra sottostante che, ruotando, è come se facesse ruotare il piano verticale su cui esso si muove.
Se la Terra fosse ferma, il pendolo dovrebbe tracciare un’unica linea sul pavimento. Nel corso dell’esperimento, lasciando oscillare il pendolo si vide che disegnava delle linee sotto di esso. Poiché il piano di oscillazione libera di un pendolo non cambia, le linee indicavano che era il terreno sottostante a muoversi.
Foucault dimostrò che l’angolo che raggruppava queste linee era in relazione alla latitudine del luogo; in particolare:
- all’equatore, l’angolo è nullo (la rotazione “non c’è” perché il piano del pendolo è perpendicolare all’asse di rotazione terrestre)
- al Polo Nord è di 360° (la Terra ruota sotto di lui facendo in 24 ore un giro completo, dando l’impressione che sia invece il pendolo a ruotare).
Attenzione!
Se la Terra fosse un sistema inerziale, il pendolo traccerebbe delle linee lungo la medesima direzione.
Esempio di pendolo: Come oscilla una tartaruga?
Un esempio di pendolo: come oscilla una tartaruga?
Il ritorno su Redooc: che ci fa una tartaruga appesa all’Enterprise?
Il raggio traente che ha bloccato l’Enterprise a una distanza di due raggi planetari dalla superficie di Redooc sta attraendo la nave stellare di nuovo verso la superficie planetaria, lentamente ma inesorabilmente: l’Enterprise attraversa l’atmosfera planetaria, provando una volta ancora il terzo principio della dinamica (azione e reazione), in cui la sua £$F = ma$£ è contrastata dalla forza idrostatica dell’atmosfera di Redooc, e viene nuovamente a fermarsi a soli 100m dalla superficie dell’oceano, in corrispondenza del segnale misterioso e del raggio traente che l’ha intrappolata. Ma ecco che dall’astronave, che sembrava del tutto in balia degli eventi, viene calato un cavo metallico, sottile, leggero e resistente, parallelo al raggio, che si inabissa. Improvvisamente la nave stellare riattiva i motori, il raggio traente viene disattivato, e dalla superficie dell’oceano emerge una delle tartarughe intelligenti di Redooc, con il cavo attorcigliato ad una delle zampe: l’Enterprise si allontana ulteriormente e si ferma e la tartaruga, sorpresa e sconcertata, oscilla appesa al cavo.
La situazione descritta è quella di un pendolo, anzi, di un pendolo ideale: il sistema di riferimento ha un punto fisso, il vincolo al quale il cavo è congiunto all’Enterprise è un cavo di lunghezza £$l$£ a cui è appesa un corpo di massa £$m$£, nel nostro caso una delle tartarughe intelligenti di Redooc.
Il movimento dell’Enterprise ha impresso un’oscillazione al sistema “cavo + tartaruga”, un’oscillazione che, per comodità di calcolo, immaginiamo avvenga su un piano, ossia abbia componenti del moto in solo due direzioni, che sia perpendicolare alla superficie dell’oceano. Nella fantascienza, così come nella fisica, è possibile sospendere per un momento l’incredulità e ritenere che l’oscillazione del cavo più tartaruga avvenga esattamente su un piano, senza deviare in altre direzioni spaziali, che il cavo stesso, metallico ma leggero e sottile, sia di massa nulla e che il cavo stesso sia inestensibile e non soggetto a deformazioni. Un’ulteriore assunzione vuole che l’oscillazione avvenga senza attrito, ossia non sia smorzata dalla resistenza opposta dall’aria del pianeta.
Attenzione!
Quello che nella fantascienza si definisce “sospensione dell’incredulità” (ammettiamo che i viaggi nel tempo esistano, o che sia possibile clonare un tirannosauro, o che la Terra venga attaccata da un’intelligenza aliena ostile, o tutte queste cose allo stesso tempo), nella scienza e in fisica si definisce “fare un’assunzione”, ossia semplificare la realtà naturale creando un modello di sistema che sia più facile da maneggiare attraverso equazioni e calcoli. Le assunzioni, in fisica, devono però essere sempre lecite, ossia ragionevoli all’interno del fenomeno che si intende descrivere: anziché invocare la clonazione di un tirannosauro, richiedere a un cavo di essere privo di massa è un’assunzione lecita, così come quella di un’oscillazione su un piano, o di una tartaruga sorpresa e intrappolata in un’oscillazione priva di attrito, e che ci permetta di descrivere un pendolo, appunto, ideale.
Come oscilla una tartaruga appesa all’Enterprise?
L’oscillazione della malcapitata tartaruga appesa all’Enterprise è un moto su un piano caratterizzato da grandezze quali il periodo di oscillazione £$T$£ e l’ampiezza di oscillazione £$\theta$£.
Il periodo di oscillazione è il tempo impiegato dalla tartaruga per passare dalla posizione in corrispondenza dell’angolo massimo θ, definito ampiezza, attraversare la posizione di equilibrio, ossia il punto più basso dell’oscillazione, e arrivare fino all’angolo massimo θ dalla parte opposta rispetto all’inizio del movimento.
Il punto di equilibrio è quel punto dove le forze in gioco nel sistema sono uguali l’una all’altra: le forze in gioco, per la nostra tartaruga oscillante, sono la forza peso £$F = mg$£ e la tensione del cavo, ossia la forza che la tiene appesa all’Enterprise attraverso il cavo metallico.
In una situazione di quiete, ossia di assenza di movimento, il bilancio delle forze sarebbe zero, la forza peso sarebbe perfettamente controbilanciata dalla tensione del cavo e la tartaruga stazionerebbe nel punto di equilibrio scomodamente vincolata appesa all’Enterprise.
Il periodo di oscillazione £$T$£ della tartaruga permette all’Enterprise di calcolare con precisione l’accelerazione gravitazionale £$g$£ di Redooc: £$T$£ è, infatti,
£$T = 2π \sqrt{\frac{l}{g}}$£
dove £$l$£ è la lunghezza del cavo al quale la tartaruga è appesa. Il periodo di oscillazione, nel nostro pendolo ideale, dipende unicamente dalla lunghezza del cavo e dall’accelerazione di gravità del pianeta ed è del tutto indipendente dalla massa della tartaruga! Misurato £$T$£ per un numero adeguato di oscillazioni (almeno dieci), in modo da minimizzare l’errore di misura, £$g$£ è semplicemente,
£$g = 4π {\frac{l^2}{T^2}}$£
La misura dell’accelerazione di gravità di un pianeta (della Terra in particolare) è semplice attraverso la costruzione di un sistema pendolo che sia il più possibile approssimabile a un pendolo ideale.
