L'equilibrio di un solido

Perché per stringere i bulloni usiamo la chiave inglese? Perché l'effetto della rotazione è direttamente proporzionale non solo alla forza, ma anche al braccio.

Il braccio di una forza rispetto ad un punto £$O$£ è la distanza tra il punto £$O$£ e la retta che contiene il vettore £$\vec{F}$£.

Questo effetto di rotazione è un vettore e si chiama momento di una forza (£$\vec{M}$£) e si misura in £${N \ \cdot \ m}$£. Il momento di una forza è un vettore che ha:

• direzione perpendicolare al piano di rotazione
• verso uscente dal piano se il senso di rotazione è antiorario, entrante se è orario
• modulo equivalente al prodotto tra la Forza (£$\vec{F}$£), il braccio e il il seno dell'angolo compreso tra i due vettori.

Questo tipo di prodotto si chiama prodotto vettoriale. Se £$\theta$£, l'angolo compreso tra la forza e il braccio, sarà di 90° allora si otterrà l'effetto maggiore.

La formula si può riassumere in: £$M = F \cdot \ b \cdot \sin{\theta}$£

Il momento è direttamente proporzionale al raggio, quindi, per avvitare un bullone, se la chiave inglese è più corta occorre applicare più forza!

Esempio.
Se per avvitare un bullone uso una chiave inglese lunga £$0,2 \ \text{m}$£ e applico una forza perpendicolare ad essa di £$10 \ \text{N}$£:

£$M = F \cdot b \cdot \sin{90°} = $£ £$ 10 \ \text{N} \cdot 0,2 \ \text{m} \cdot 1 = $£ £$ 2 \ \text{N} \cdot \text{m}$£

Nel manubrio di una bicicletta il momento è dato da una coppia di forze parallele e con lo stesso modulo che agiscono su due bracci adiacenti e della stessa lunghezza. In questo caso il momento è dato dalla somma di due momenti uguali e quindi il doppio di un singolo momento.

Questo momento si chiama momento di una coppia (£$M_c$£).

£$M_{c} = 2 \cdot F \cdot b = F \cdot d$£

dove £$d$£ è uguale alla distanza delle due rette parallele sulle quali giacciono i vettori Forza.

Perché preferiamo l’arrivo degli alieni in grande stile, con portellone aperto e l’abbassarsi di una rampa, all’espediente del teletrasporto? Il teletrasporto, ossia la possibilità di smaterializzare esseri viventi e oggetti per permettere viaggi istantanei da un’astronave all’altra, o da un’astronave alla superficie di un pianeta, è stato un fortunatissimo espediente per evitare, in Star Trek e in altre serie di fantascienza, di far continuamente atterrare le navi spaziali sui pianeti che visitavano, oppure di perdersi in decine e decine di complicati collegamenti e passaggi tra un’astronave e l’altra.

Su Redooc, dove abbiamo assistito alla tartaruga intelligente penzolante a un cavo metallico leggero e inestensibile fissato alla carena dell’Enterprise, permettiamo invece alla nave stellare di atterrare adeguatamente, dopo aver issato la tartaruga al suo interno, e di mostrarci un’altra scena topica della fantascienza: l’apertura di un portellone nello scafo, a rivelare l’interno abbagliante dell’Enterprise, e l’abbassarsi di una rampa che metta in comunicazione l’interno della nave stellare con la superficie planetaria.
La rampa, la cui superficie assumiamo essere un piano perfetto e privo di rugosità, ossia privo di attrito, altro non è che un piano inclinato, la cui inclinazione in relazione con la superficie planetaria, che assumiamo a sua volta essere un piano orizzontale, è un angolo £$\theta$£ .

L’oscillazione perfettamente in piano della tartaruga di Redooc appesa a un cavo metallico, che ci ha permesso di misurare l’accelerazione di gravità g del pianeta, era descritta da un periodo di oscillazione £$T$£  del tutto indipendente dalla massa £$m$£  della tartaruga, e dipendente esclusivamente dalla lunghezza £$l$£  del cavo e da £$g$£ .

Come rotola una tartaruga sferica giù dalla rampa di un’astronave?

La rampa è un piano inclinato di un angolo £$\theta$£ rispetto alla superficie planetaria: dal portellone aperto viene espulsa la tartaruga di Redooc che, per mantenere l’assunzione di assenza di attrito, assumiamo essere sferica (un’assunzione lecita se immaginiamo un carapace sferico per la tartaruga, e il fatto che ritiri la testa e le zampe all’interno del carapace): la discesa della tartaruga sarà, in assenza di attrito, dominata esclusivamente dalla forza peso, la cui equazione, in modulo, è £$F = mg$£ .

Un piano inclinato ha un sistema di riferimento più complesso rispetto a quello utilizzato per la caduta di un grave, proprio in funzione del fatto che l’accelerazione di gravità £$g$£ attirerebbe la tartaruga verso il centro del pianeta, ma un semplice movimento verticale verso il basso è impedito dalla presenza della superficie piana, liscia e solida della rampa dell’Enterprise. La £$F = mg$£ deve quindi essere scomposta in una componente perpendicolare alla rampa, £$F_{per}$£ e in una componente parallela alla rampa, £$F_{par}$£.

La scomposizione della forza peso avviene sui due assi del sistema di riferimento inclinato rispetto alla superficie planetaria, con l’asse delle ordinate perpendicolare al piano della rampa e l’asse delle ascisse parallelo alla rampa, o semplicemente posizionato sulla rampa stessa:

• la £$F_{per}$£ è la componente della forza peso lungo l’asse £$y$£ e
• la £$F_{par}$£ è la componente della forza peso lungo l’asse £$x$£.

Le due componenti sono descritte attraverso il modulo della forza peso £$F$£ e, per la trigonometria, l’angolo £$\theta$£ di inclinazione della rampa:

£$F_{per}$£ = £$F \cos{\theta}$£ 

£$F_{par}$£ = £$F \sin{\theta}$£ 

L’accelerazione £$a$£ della tartaruga sferica avviene lungo il piano della rampa dell’Enterprise, e altro non è che un moto rettilineo uniformemente accelerato, dal portellone verso il suolo.

Per il secondo principio della dinamica, £$F = ma$£ e quindi £$a = F/m$£. La componente della forza che ci interessa, in questo moto, è quella lungo la rampa, ossia la £$F_{par}$£ :

£$a$£ = £$F \sin{\theta}m $£ 

ma, nel rotolamento della tartaruga di Redooc, £$F = mg$£ . Conseguentemente, l’accelerazione cui è sottoposta la tartaruga espulsa dall’Enterprise è pari ad £$a$£ = £$g \sin{\theta}$£ , una volta ancora indipendente dalla massa della tartaruga!