L'equilibrio di un solido

Un corpo fermo e che resta fermo è in equilibrio. Scopri come mettere un corpo in equilibrio su un piano inclinato.

Appunti

Un corpo si dice in equilibrio quando è fermo e rimane fermo.

Nel caso di un punto materiale, ovvero di un oggetto piccolo rispetto all’ambiente in cui si trova, esso è fermo se la somma di tutte le forze è uguale a 0.

Ma le cose cambiano quando consideriamo un corpo rigido, ovvero un oggetto esteso che non subisce deformazioni quando gli vengono applicate delle forze.

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Prerequisiti per imparare l'equilibrio di un solido

Condizioni di equilibrio di un punto materiale e di un corpo rigido

Un corpo si dice in equilibrio statico quando è fermo e continua a stare fermo

Nel caso di un punto materiale, ovvero di un oggetto piccolo rispetto all’ambiente in cui si trova, esso è fermo se la somma di tutte le forze è uguale a 0. 

Un punto materiale si trova in equilibrio quando la risultante £$F_{tot}$£ di tutte le forze è nulla, quindi uguale a £$0 \ \text{N}$£.

Ma le cose cambiano quando consideriamo un corpo rigido, ovvero un oggetto esteso che non subisce deformazioni quando gli vengono applicate delle forze.

Un corpo rigido, invece, è in equilibrio quando la somma vettoriale delle forze applicate è uguale a £$0 \ \text{N}$£ e quando la somma vettoriale di tutti i momenti delle forze ad esso applicate è uguale a £$0 \ \text{N} \cdot m$£.
Quindi un corpo rigido è in equilibrio quando: £$\begin{cases} \vec{F_{tot}} = 0 \\ \vec{M_{tot}} = 0 \end{cases}$£

Baricentro o centro di massa

Il baricentro, chiamato anche centro di massa, è il punto geometrico corrispondente al valor medio della distribuzione della massa del corpo, o del sistema, nello spazio. Per questo motivo risulta essere il punto di applicazione della forza-peso di un corpo rigido. Nel caso particolare di un corpo rigido, infatti, il centro di massa ha una posizione fissa rispetto al sistema.

In particolare, se un corpo ha una forma regolare (es. sfera, cubo...) il suo centro di massa corrisponde al centro geometrico del corpo. Se un corpo è simmetrico ed omogeneo (stessa densità in ogni punto), il baricentro corrisponde con il suo centro di simmetria.

Una forza che agisce su un corpo rigido con...

  • la sua direzione che passa per il baricentro, provoca un movimento traslatorio (sempre se non ci sono vincoli, cioè ostacoli)
  • la sua direzione che non passa per il baricentro, provoca un movimento rotazionale.

Il momento di una forza

Perché per stringere i bulloni usiamo la chiave inglese? Perché l'effetto della rotazione è direttamente proporzionale non solo alla forza, ma anche al braccio.

Il braccio di una forza rispetto ad un punto £$O$£ è la distanza tra il punto £$O$£ e la retta che contiene il vettore £$\vec{F}$£.

Questo effetto di rotazione è un vettore e si chiama momento di una forza (£$\vec{M}$£) e si misura in £${N \ \cdot \ m}$£. Il momento di una forza è un vettore che ha:

  • direzione perpendicolare al piano di rotazione
  • verso uscente dal piano se il senso di rotazione è antiorario, entrante se è orario
  • modulo equivalente al prodotto tra la Forza (£$\vec{F}$£), il braccio e il il seno dell'angolo compreso tra i due vettori.

Questo tipo di prodotto si chiama prodotto vettoriale. Se £$\theta$£, l'angolo compreso tra la forza e il braccio, sarà di 90° allora si otterrà l'effetto maggiore.

La formula si può riassumere in: £$M = F \cdot \ b \cdot \sin{\theta}$£

Il momento è direttamente proporzionale al raggio, quindi, per avvitare un bullone, se la chiave inglese è più corta occorre applicare più forza!

Esempio.
Se per avvitare un bullone uso una chiave inglese lunga £$0,2 \ \text{m}$£ e applico una forza perpendicolare ad essa di £$10 \ \text{N}$£:

£$M = F \cdot b \cdot \sin{90°} = $£ £$ 10 \ \text{N} \cdot 0,2 \ \text{m} \cdot 1 = $£ £$ 2 \ \text{N} \cdot \text{m}$£

Momento di una coppia di forze

Nel manubrio di una bicicletta il momento è dato da una coppia di forze parallele e con lo stesso modulo che agiscono su due bracci adiacenti e della stessa lunghezza. In questo caso il momento è dato dalla somma di due momenti uguali e quindi il doppio di un singolo momento.

Questo momento si chiama momento di una coppia (£$M_c$£).

£$M_{c} = 2 \cdot F \cdot b = F \cdot d$£

dove £$d$£ è uguale alla distanza delle due rette parallele sulle quali giacciono i vettori Forza.

Equilibrio di un corpo su un piano inclinato

Quando un corpo è appoggiato su un piano inclinato su di lui agiscono tre forze:

  • la forza peso (£$\vec{F_p}$£), che ha direzione perpendicolare al suolo e verso diretto verso il basso
  • la forza vincolare (£$\vec{N}$£), che ha direzione perpendicolare al piano e verso uscente dal piano
  • un'eventuale forza esterna equilibrante (£$\vec{F_e}$£).

Attenzione!
La forza peso agisce sul piano ma verso il basso, se il piano è inclinato essa si deve scomporre in due componenti:

  • La componente parallela al piano (£$F_{//}$£), con direzione parallela al piano e verso rivolto verso la base
  • La componente perpendicolare al piano (£$F_⊥$£), con direzione perpendicolare al piano e verso rivolto verso il basso.

Modulo delle componenti della forza peso

Il modulo della componente parallela al piano si trova moltiplicando la forza peso per il seno dell'angolo £$\alpha$£ compreso tra la base e la lunghezza del piano (ipotenusa).
Il seno dell'angolo £$\alpha$£ può essere trovato anche dividendo il cateto opposto all'angolo (£$h$£) e l'ipotenusa (£$l$£).

£$F_{//} = F_p \cdot \text{sen}{\alpha}$£

£$F_{//} = F_p \cdot \frac{h}{l}$£

Questo perché il triangolo formato dalla forza peso e dalle sue componenti è simile al triangolo £$A \stackrel\triangle{B} C$£ del piano inclinato.

Il modulo della componente perpendicolare della forza peso, invece, rappresenta l'altro cateto del triangolo rettangolo, quindi si può trovare moltiplicando la forza peso per il coseno dell'angolo £$\alpha$£.

£$F_⊥ = F_p \cdot \text{cos}{\alpha}$£

£$F_{⊥} = F_p \cdot \frac{b}{l}$£

Dove £$b$£ è la base del piano inclinato.

Come equilibrare un corpo su un piano inclinato

Su un piano inclinato potrebbe agire una forza d'attrito radente statico (£$F_a$£) non trascurabile, che ha direzione parallela al piano e verso rivolto verso l'alto.

Il modulo massimo di questa forza si ricava dal prodotto tra la componente perpendicolare della forza peso e il coefficiente di attrito radente statico: 

£$F_a = F_p \cdot \cos{\alpha} \cdot \mu_s$£ 

Alla forza d'attrito è opposta la componente parallela della forza peso, la quale agisce per spingere il corpo verso il basso. Se la forza d'attrito di distacco (£$F_p \cdot \cos{\alpha} \cdot \mu_s$£) è maggiore della componente parallela alla forza peso, il corpo resterà in equilibrio, viceversa se quest'ultima forza è maggiore, allora il corpo si muoverà verso il basso spinto da una forza risultante £$\vec{R}$£ che si ricava grazie alla differenza dei vettori £$\vec{F_a}$£ e £$\vec{F_{//}}$£.

Quando £$R$£ è diversa da £$0$£ per mantenere il corpo in equilibrio è necessario imprimergli una forza con lo stesso modulo e la stessa direzione ma verso opposto, quindi verso l'alto.

Esempio.
Se un armadio ha massa uguale a £$200 \ \text{kg}$£ ed è posizionato sopra un piano inclinato di £$30°$£, con un coefficiente d'attrito statico di £$\mu_s$£ di £$0,2$£ dovremmo applicare una forza di £$641\ \text{N}$£ per tenerlo in equilibrio poiché £$F_{//} = 980 \ \text{N} $£, £$F_a = 339 \ \text{N}$£ e £$\vec{R} = F_{//} - F_a$£

Esempio di moto lungo un piano inclinato

Perché preferiamo l’arrivo degli alieni in grande stile, con portellone aperto e l’abbassarsi di una rampa, all’espediente del teletrasporto? Il teletrasporto, ossia la possibilità di smaterializzare esseri viventi e oggetti per permettere viaggi istantanei da un’astronave all’altra, o da un’astronave alla superficie di un pianeta, è stato un fortunatissimo espediente per evitare, in Star Trek e in altre serie di fantascienza, di far continuamente atterrare le navi spaziali sui pianeti che visitavano, oppure di perdersi in decine e decine di complicati collegamenti e passaggi tra un’astronave e l’altra.

Su Redooc, dove abbiamo assistito alla tartaruga intelligente penzolante a un cavo metallico leggero e inestensibile fissato alla carena dell’Enterprise, permettiamo invece alla nave stellare di atterrare adeguatamente, dopo aver issato la tartaruga al suo interno, e di mostrarci un’altra scena topica della fantascienza: l’apertura di un portellone nello scafo, a rivelare l’interno abbagliante dell’Enterprise, e l’abbassarsi di una rampa che metta in comunicazione l’interno della nave stellare con la superficie planetaria.
La rampa, la cui superficie assumiamo essere un piano perfetto e privo di rugosità, ossia privo di attrito, altro non è che un piano inclinato, la cui inclinazione in relazione con la superficie planetaria, che assumiamo a sua volta essere un piano orizzontale, è un angolo £$\theta$£ .

L’oscillazione perfettamente in piano della tartaruga di Redooc appesa a un cavo metallico, che ci ha permesso di misurare l’accelerazione di gravità g del pianeta, era descritta da un periodo di oscillazione £$T$£  del tutto indipendente dalla massa £$m$£  della tartaruga, e dipendente esclusivamente dalla lunghezza £$l$£  del cavo e da £$g$£ .

Come rotola una tartaruga sferica giù dalla rampa di un’astronave?

La rampa è un piano inclinato di un angolo £$\theta$£ rispetto alla superficie planetaria: dal portellone aperto viene espulsa la tartaruga di Redooc che, per mantenere l’assunzione di assenza di attrito, assumiamo essere sferica (un’assunzione lecita se immaginiamo un carapace sferico per la tartaruga, e il fatto che ritiri la testa e le zampe all’interno del carapace): la discesa della tartaruga sarà, in assenza di attrito, dominata esclusivamente dalla forza peso, la cui equazione, in modulo, è £$F = mg$£ .

Un piano inclinato ha un sistema di riferimento più complesso rispetto a quello utilizzato per la caduta di un grave, proprio in funzione del fatto che l’accelerazione di gravità £$g$£ attirerebbe la tartaruga verso il centro del pianeta, ma un semplice movimento verticale verso il basso è impedito dalla presenza della superficie piana, liscia e solida della rampa dell’Enterprise. La £$F = mg$£ deve quindi essere scomposta in una componente perpendicolare alla rampa, £$F_{per}$£ e in una componente parallela alla rampa, £$F_{par}$£.

La scomposizione della forza peso avviene sui due assi del sistema di riferimento inclinato rispetto alla superficie planetaria, con l’asse delle ordinate perpendicolare al piano della rampa e l’asse delle ascisse parallelo alla rampa, o semplicemente posizionato sulla rampa stessa:

  • la £$F_{per}$£ è la componente della forza peso lungo l’asse £$y$£ e
  • la £$F_{par}$£ è la componente della forza peso lungo l’asse £$x$£.


Le due componenti sono descritte attraverso il modulo della forza peso £$F$£ e, per la trigonometria, l’angolo £$\theta$£ di inclinazione della rampa:

£$F_{per}$£ = £$F \cos{\theta}$£ 

£$F_{par}$£ = £$F \sin{\theta}$£ 

L’accelerazione £$a$£ della tartaruga sferica avviene lungo il piano della rampa dell’Enterprise, e altro non è che un moto rettilineo uniformemente accelerato, dal portellone verso il suolo.


Per il secondo principio della dinamica, £$F = ma$£ e quindi £$a = F/m$£. La componente della forza che ci interessa, in questo moto, è quella lungo la rampa, ossia la £$F_{par}$£ :

£$a$£ = £$F \sin{\theta}m $£ 

ma, nel rotolamento della tartaruga di Redooc, £$F = mg$£ . Conseguentemente, l’accelerazione cui è sottoposta la tartaruga espulsa dall’Enterprise è pari ad £$a$£ = £$g \sin{\theta}$£ , una volta ancora indipendente dalla massa della tartaruga!