L'equilibrio di un solido

Un corpo fermo e che resta fermo è in equilibrio. Scopri come mettere un corpo in equilibrio su un piano inclinato.

Appunti

Un corpo si dice in equilibrio quando è fermo e rimane fermo.

Nel caso di un punto materiale, ovvero di un oggetto piccolo rispetto all’ambiente in cui si trova, esso è fermo se la somma di tutte le forze è uguale a 0.

Ma le cose cambiano quando consideriamo un corpo rigido, ovvero un oggetto esteso che non subisce deformazioni quando gli vengono applicate delle forze.

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Prerequisiti per imparare l'equilibrio di un solido

Condizioni di equilibrio di un punto materiale e di un corpo rigido

Un corpo si dice in equilibrio statico quando è fermo e continua a stare fermo

Nel caso di un punto materiale, ovvero di un oggetto piccolo rispetto all’ambiente in cui si trova, esso è fermo se la somma di tutte le forze è uguale a 0. 

Un punto materiale si trova in equilibrio quando la risultante £$F_{tot}$£ di tutte le forze è nulla, quindi uguale a £$0 \ \text{N}$£.

Ma le cose cambiano quando consideriamo un corpo rigido, ovvero un oggetto esteso che non subisce deformazioni quando gli vengono applicate delle forze.

Un corpo rigido, invece, è in equilibrio quando la somma vettoriale delle forze applicate è uguale a £$0 \ \text{N}$£ e quando la somma vettoriale di tutti i momenti delle forze ad esso applicate è uguale a £$0 \ \text{N} \cdot m$£.
Quindi un corpo rigido è in equilibrio quando: £$\begin{cases} \vec{F_{tot}} = 0 \\ \vec{M_{tot}} = 0 \end{cases}$£

Baricentro o centro di massa

Baricentro o centro di massa

Il momento di una forza

Perché per stringere i bulloni usiamo la chiave inglese? Perché l'effetto della rotazione è direttamente proporzionale non solo alla forza, ma anche al braccio.

Il braccio di una forza rispetto ad un punto £$O$£ è la distanza tra il punto £$O$£ e la retta che contiene il vettore £$\vec{F}$£.

Questo effetto di rotazione è un vettore e si chiama momento di una forza (£$\vec{M}$£) e si misura in £${N \ \cdot \ m}$£. Il momento di una forza è un vettore che ha:

  • direzione perpendicolare al piano di rotazione
  • verso uscente dal piano se il senso di rotazione è antiorario, entrante se è orario
  • modulo equivalente al prodotto tra la Forza (£$\vec{F}$£), il braccio e il il seno dell'angolo compreso tra i due vettori.

Questo tipo di prodotto si chiama prodotto vettoriale. Se £$\theta$£, l'angolo compreso tra la forza e il braccio, sarà di 90° allora si otterrà l'effetto maggiore.

La formula si può riassumere in: £$M = F \cdot \ b \cdot \sin{\theta}$£

Il momento è direttamente proporzionale al raggio, quindi, per avvitare un bullone, se la chiave inglese è più corta occorre applicare più forza!

Esempio.
Se per avvitare un bullone uso una chiave inglese lunga £$0,2 \ \text{m}$£ e applico una forza perpendicolare ad essa di £$10 \ \text{N}$£:

£$M = F \cdot b \cdot \sin{90°} = $£ £$ 10 \ \text{N} \cdot 0,2 \ \text{m} \cdot 1 = $£ £$ 2 \ \text{N} \cdot \text{m}$£

Momento di una coppia di forze

Nel manubrio di una bicicletta il momento è dato da una coppia di forze parallele e con lo stesso modulo che agiscono su due bracci adiacenti e della stessa lunghezza. In questo caso il momento è dato dalla somma di due momenti uguali e quindi il doppio di un singolo momento.

Questo momento si chiama momento di una coppia (£$M_c$£).

£$M_{c} = 2 \cdot F \cdot b = F \cdot d$£

dove £$d$£ è uguale alla distanza delle due rette parallele sulle quali giacciono i vettori Forza.

Equilibrio di un corpo su un piano inclinato

Quando un corpo è appoggiato su un piano inclinato su di lui agiscono tre forze:

  • la forza peso (£$\vec{F_p}$£), che ha direzione perpendicolare al suolo e verso diretto verso il basso
  • la forza vincolare (£$\vec{N}$£), che ha direzione perpendicolare al piano e verso uscente dal piano
  • un'eventuale forza esterna equilibrante (£$\vec{F_e}$£).

Attenzione!
La forza peso agisce sul piano ma verso il basso, se il piano è inclinato essa si deve scomporre in due componenti:

  • La componente parallela al piano (£$F_{//}$£), con direzione parallela al piano e verso rivolto verso la base
  • La componente perpendicolare al piano (£$F_⊥$£), con direzione perpendicolare al piano e verso rivolto verso il basso.

Modulo delle componenti della forza peso

Il modulo della componente parallela al piano si trova moltiplicando la forza peso per il seno dell'angolo £$\alpha$£ compreso tra la base e la lunghezza del piano (ipotenusa).
Il seno dell'angolo £$\alpha$£ può essere trovato anche dividendo il cateto opposto all'angolo (£$h$£) e l'ipotenusa (£$l$£).

£$F_{//} = F_p \cdot \text{sen}{\alpha}$£

£$F_{//} = F_p \cdot \frac{h}{l}$£

Questo perché il triangolo formato dalla forza peso e dalle sue componenti è simile al triangolo £$A \stackrel\triangle{B} C$£ del piano inclinato.

Il modulo della componente perpendicolare della forza peso, invece, rappresenta l'altro cateto del triangolo rettangolo, quindi si può trovare moltiplicando la forza peso per il coseno dell'angolo £$\alpha$£.

£$F_⊥ = F_p \cdot \text{cos}{\alpha}$£

£$F_{⊥} = F_p \cdot \frac{b}{l}$£

Dove £$b$£ è la base del piano inclinato.

Come equilibrare un corpo su un piano inclinato

Su un piano inclinato potrebbe agire una forza d'attrito radente statico (£$F_a$£) non trascurabile, che ha direzione parallela al piano e verso rivolto verso l'alto.

Il modulo massimo di questa forza si ricava dal prodotto tra la componente perpendicolare della forza peso e il coefficiente di attrito radente statico: 

£$F_a = F_p \cdot \cos{\alpha} \cdot \mu_s$£ 

Alla forza d'attrito è opposta la componente parallela della forza peso, la quale agisce per spingere il corpo verso il basso. Se la forza d'attrito di distacco (£$F_p \cdot \cos{\alpha} \cdot \mu_s$£) è maggiore della componente parallela alla forza peso, il corpo resterà in equilibrio, viceversa se quest'ultima forza è maggiore, allora il corpo si muoverà verso il basso spinto da una forza risultante £$\vec{R}$£ che si ricava grazie alla differenza dei vettori £$\vec{F_a}$£ e £$\vec{F_{//}}$£.

Quando £$R$£ è diversa da £$0$£ per mantenere il corpo in equilibrio è necessario imprimergli una forza con lo stesso modulo e la stessa direzione ma verso opposto, quindi verso l'alto.

Esempio.
Se un armadio ha massa uguale a £$200 \ \text{kg}$£ ed è posizionato sopra un piano inclinato di £$30°$£, con un coefficiente d'attrito statico di £$\mu_s$£ di £$0,2$£ dovremmo applicare una forza di £$641\ \text{N}$£ per tenerlo in equilibrio poiché £$F_{//} = 980 \ \text{N} $£, £$F_a = 339 \ \text{N}$£ e £$\vec{R} = F_{//} - F_a$£

Esempio di moto lungo un piano inclinato

Perché preferiamo l’arrivo degli alieni in grande stile, con portellone aperto e l’abbassarsi di una rampa, all’espediente del teletrasporto? Il teletrasporto, ossia la possibilità di smaterializzare esseri viventi e oggetti per permettere viaggi istantanei da un’astronave all’altra, o da un’astronave alla superficie di un pianeta, è stato un fortunatissimo espediente per evitare, in Star Trek e in altre serie di fantascienza, di far continuamente atterrare le navi spaziali sui pianeti che visitavano, oppure di perdersi in decine e decine di complicati collegamenti e passaggi tra un’astronave e l’altra.

Su Redooc, dove abbiamo assistito alla tartaruga intelligente penzolante a un cavo metallico leggero e inestensibile fissato alla carena dell’Enterprise, permettiamo invece alla nave stellare di atterrare adeguatamente, dopo aver issato la tartaruga al suo interno, e di mostrarci un’altra scena topica della fantascienza: l’apertura di un portellone nello scafo, a rivelare l’interno abbagliante dell’Enterprise, e l’abbassarsi di una rampa che metta in comunicazione l’interno della nave stellare con la superficie planetaria.
La rampa, la cui superficie assumiamo essere un piano perfetto e privo di rugosità, ossia privo di attrito, altro non è che un piano inclinato, la cui inclinazione in relazione con la superficie planetaria, che assumiamo a sua volta essere un piano orizzontale, è un angolo £$\theta$£ .

L’oscillazione perfettamente in piano della tartaruga di Redooc appesa a un cavo metallico, che ci ha permesso di misurare l’accelerazione di gravità g del pianeta, era descritta da un periodo di oscillazione £$T$£  del tutto indipendente dalla massa £$m$£  della tartaruga, e dipendente esclusivamente dalla lunghezza £$l$£  del cavo e da £$g$£ .

Come rotola una tartaruga sferica giù dalla rampa di un’astronave?

La rampa è un piano inclinato di un angolo £$\theta$£ rispetto alla superficie planetaria: dal portellone aperto viene espulsa la tartaruga di Redooc che, per mantenere l’assunzione di assenza di attrito, assumiamo essere sferica (un’assunzione lecita se immaginiamo un carapace sferico per la tartaruga, e il fatto che ritiri la testa e le zampe all’interno del carapace): la discesa della tartaruga sarà, in assenza di attrito, dominata esclusivamente dalla forza peso, la cui equazione, in modulo, è £$F = mg$£ .

Un piano inclinato ha un sistema di riferimento più complesso rispetto a quello utilizzato per la caduta di un grave, proprio in funzione del fatto che l’accelerazione di gravità £$g$£ attirerebbe la tartaruga verso il centro del pianeta, ma un semplice movimento verticale verso il basso è impedito dalla presenza della superficie piana, liscia e solida della rampa dell’Enterprise. La £$F = mg$£ deve quindi essere scomposta in una componente perpendicolare alla rampa, £$F_{per}$£ e in una componente parallela alla rampa, £$F_{par}$£.

La scomposizione della forza peso avviene sui due assi del sistema di riferimento inclinato rispetto alla superficie planetaria, con l’asse delle ordinate perpendicolare al piano della rampa e l’asse delle ascisse parallelo alla rampa, o semplicemente posizionato sulla rampa stessa:

  • la £$F_{per}$£ è la componente della forza peso lungo l’asse £$y$£ e
  • la £$F_{par}$£ è la componente della forza peso lungo l’asse £$x$£.


Le due componenti sono descritte attraverso il modulo della forza peso £$F$£ e, per la trigonometria, l’angolo £$\theta$£ di inclinazione della rampa:

£$F_{per}$£ = £$F \cos{\theta}$£ 

£$F_{par}$£ = £$F \sin{\theta}$£ 

L’accelerazione £$a$£ della tartaruga sferica avviene lungo il piano della rampa dell’Enterprise, e altro non è che un moto rettilineo uniformemente accelerato, dal portellone verso il suolo.


Per il secondo principio della dinamica, £$F = ma$£ e quindi £$a = F/m$£. La componente della forza che ci interessa, in questo moto, è quella lungo la rampa, ossia la £$F_{par}$£ :

£$a$£ = £$F \sin{\theta}m $£ 

ma, nel rotolamento della tartaruga di Redooc, £$F = mg$£ . Conseguentemente, l’accelerazione cui è sottoposta la tartaruga espulsa dall’Enterprise è pari ad £$a$£ = £$g \sin{\theta}$£ , una volta ancora indipendente dalla massa della tartaruga!