Momento angolare

Il momento angolare è una grandezza fisica vettoriale legata alle rotazioni spaziali: è la quantità che si conserva se un sistema fisico è invariante sotto rotazioni.
Costituisce l'equivalente per le rotazioni della quantità di moto per le traslazioni.

Nella meccanica newtoniana il momento angolare £$\vec {L}$£ di un punto materiale rispetto a un polo £$ \Omega $£ è definito come il prodotto vettoriale del vettore posizione £$\vec {r}$£ (con origine in £$\Omega$£ ) e del vettore quantità di moto £$\vec {Q}$£.

Omettendo la dipendenza dal polo:

£$\vec {L}=\vec {r}\times \vec {Q}=\vec {r}\times m\ \vec {v}$£

Il momento angolare è importante in tutti i moti dipendenti da variazioni che riguardano angoli.

Nei sistemi non soggetti a forze esterne, vale la legge di conservazione del momento angolare.
La conservazione del momento angolare è fondamentale nello studio dei moti dei pianeti e delle leggi di Keplero e nello studio del moto del pendolo.

Questa legge è conseguente alla seconda equazione cardinale:

£$ \frac{d\vec {L}}{dt}=\vec {M}_{tot} $£

in questa formula

• £$L$£ rappresenta il momento angolare del sistema
• £$\vec {L} = \vec {r} \times \vec {Q}$£ dove £$\vec {Q}$£ è la quantità di moto del sistema, applicata al centro di massa ed £$\vec {r}$£ è il vettore posizione del centro di massa rispetto all'asse di rotazione
• £$\vec {M}_{tot}$£ rappresenta il momento meccanico delle forze esterne £$\vec {F}_{tot}$£ (anch'esse applicate al baricentro)
• £$\vec {M}_{tot} = \vec {r} \times \vec {F}_{tot}$£
• Se tale momento è nullo, £$\vec {M}_{tot}=0$£ , risulta £$ \frac{d\vec {L}}{dt}=0 $£

Questo significa che £$L$£ è una costante del moto, ovvero che si conserva.

Il momento delle forze esterne può essere nullo (e quindi il momento angolare è costante) in questi tre casi:

1. la forza esterna è nulla (il sistema è meccanicamente isolato)
2. la forza è applicata in un punto dell'asse di rotazione (per cui £$r =0$£)
3. la forza è diretta verso l'asse di rotazione, per cui £$\vec {F}$£ è parallelo ad £$\vec {r}$£, ovvero il loro prodotto vettoriale è nullo.

Esempio.
Una ruota di bicicletta in rotazione, se gli attriti sono trascurabili, tende a ruotare con la stessa frequenza e sullo stesso piano.

L'energia cinetica associata al moto di rotazione di un corpo rigido viene anche detta energia rotazionale.
Nel caso di un corpo rigido a simmetria assiale e che ruoti attorno all'asse di simmetria, l'energia rotazionale risulta proporzionale al prodotto del momento di inerzia £$I$£ del corpo per il quadrato della sua velocità angolare £$\omega$£:

£$E={\frac {1}{2}}I\omega ^{2}$£

Attenzione!
L'espressione ricorda quella dell'energia cinetica, £$E={\frac {1}{2}}mv^{2}$£ ma:

• al posto della massa £$m$£ c'è il momento di inerzia e
• al posto della velocità lineare £$v$£ c'è la velocità angolare.

Nel caso in cui si parli di un oggetto puntiforme che ruota a distanza r dal centro di rotazione con una velocità angolare £$\omega$£, sostituendo £$I=mr^2$£ e  £$\omega={\frac {v}{r}}$£...

Moto di traslazione.
Un corpo rigido trasla se tutti i suoi punti si spostano ad una distanza fissa nella stessa direzione.
L'orientamento del corpo nello spazio rimane lo stesso.
Un corpo può traslare se ha una velocità propria £$v$£, oppure se mosso da una o più forze.

Moto di rotazione.
Una rotazione è il movimento di un corpo che segue una traiettoria circolare.
In due dimensioni, cioè sul piano, una figura può ruotare attorno ad un punto detto centro di rotazione; in tre dimensioni, la rotazione avviene intorno ad una retta detta asse di rotazione.
Un corpo rigido ruota se ha una velocità di rotazione propria £$\omega$£, oppure se spinto a ruotare da una o più forze.