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Trasformazioni di Lorentz e il moto dei corpi ad alte velocità
In questa lezione discuteremo il metodo della trasformazione di Lorentz.
Questi calcoli ci permetteranno di studiare il moto dei corpi ad alte velocità. In particolare analizzeremo anche come lo spazio ed il tempo dipendano strettamente dalla velocità con cui li si osserva.
Appunti
Con l'introduzione dei postulati di Einstein nasce la necessità di trovare un nuovo metodo per svolgere i calcoli nel passare da un sistema di riferimento ad un altro, questo metodo viene chiamato trasformazione di Lorentz. Scopri come funziona!
Contenuti di questa lezione su: Trasformazioni di Lorentz e il moto dei corpi ad alte velocità
Trasformazioni di Lorentz monodimensionali
Per poter svolgere le trasformazioni di Lorentz, dobbiamo prima introdurre il fattore di Lorentz. Prendiamo in considerazione due sistemi di riferimento £$S$£ ed £$S'$£, in particolare £$S$£ vede £$S'$£ muoversi con una velocità £$v$£ lungo l'asse delle £$x$£ e con velocità nulla nelle altre direzioni. Il fattore di Lorentz del passaggio da £$S$£ ad £$S'$£ sarà allora:
£$\gamma =\frac{1}{\sqrt{1- \beta^2}}$£
con £$\beta = \frac{v}{c}$£.
Calcolato questo fattore dobbiamo imporre un’ulteriore condizione: i due sistemi di riferimento dovranno essere coincidenti nell’istante £$t=t’=0$£. Possiamo ora applicare la trasformazione utilizzando le due formule seguenti:
£$t’=\gamma\cdot (t-\frac{v}{c^2}x)$£
£$x’=\gamma\cdot (x-v\cdot t)$£.
dove £$c$£ è la velocità della luce, le lettere segnate con il simbolo ‘ sono quelle relative ad £$S’$£ mentre quelle senza simbolo sono relative ad £$S$£. Osserviamo che essendo £$c$£ la velocità massima, £$\beta$£ sarà sempre compreso tra £$0$£ e £$1$£ e di conseguenza £$\gamma$£ sarà sempre compreso tra £$1$£ e £$+(\infty)$£. Il tempo viene trattato come variabile, infatti le variabili utilizzate nella relatività sono quattro: £$t, x, y, z$£. Nel nostro caso £$y$£ e £$z$£ rimangono invariati perché abbiamo ipotizzato che la velocità £$v$£ fosse diretta solamente lungo l’asse x.
Un aspetto particolare e FONDAMENTALE di queste trasformazioni è che nella formula del tempo £$t’$£ compare la £$x$£ indicante lo spazio. Ciò significa che l’istante di tempo nel sistema £$S’$£ è direttamente collegato alla posizione assunta nel sistema £$S$£ ed è per tale ragione che si può parlare di SPAZIO-TEMPO.
Infine, è importante ricordare che le trasformazioni di Lorentz possono essere ridotte a quelle galileiane nel momento in cui si prendono in considerazione oggetti che si muovono a velocità molto più piccole di quelle della luce!
Contrazione delle lunghezze
Ora che conosciamo le trasformazioni di Lorentz svolgendo pochi calcoli possiamo trovare dei risultati molto interessanti. Consideriamo un oggetto rigido, come ad esempio un righello, disposto lungo l’asse £$x$£ e a riposo rispetto ad £$S’$£. Chiamiamo i suoi estremi £$x’_1$£ e £$x’_2$£. Secondo trasformazione di Lorentz £$x_{1}=\gamma \cdot (x’_{1}-v\cdot t)$£ e £$x_{2}=\gamma\cdot (x’_{2}-v\cdot t)$£. Sottraiamo ora termine a termine ottenendo: £$x_{1} - x_{2}=\gamma\cdot (x’_{1} - x’_{2})$£. Osserviamo che £$x’_{1} - x’_{2}$£ è la lunghezza del righello per £$S’$£ (che chiameremo £$L’$£) mentre £$x_{1} - x_{2}$£ è la lunghezza del righello per £$S$£ (che chiameremo £$L$£). L’equazione è quindi £$L=\gamma\cdot L’$£. Sappiamo che se la velocità non è nulla allora £$\gamma$£ dovrà per forza essere maggiore di £$1$£. Troviamo £$L>L’$£, il righello sarà più corto per l’osservatore in movimento. Sembra strano ma è proprio così e questo fenomeno si chiama contrazione delle lunghezze! In relatività, grazie alle trasformazioni di Lorentz, si riesce a dimostrare che la lunghezza di un oggetto, misurata da un sistema di riferimento in moto rispetto all’oggetto stesso, risulta essere minore rispetto a quella misurata da un sistema di riferimento in cui l’oggetto è fermo.
La lunghezza del segmento misurata nel sistema di riferimento in cui il corpo è fermo viene chiamata lunghezza propria ed è la lunghezza massima che può essere misurata in qualsiasi sistema di riferimento in moto relativo.
Il fenomeno della contrazione, come vedremo poi per la dilatazione dei tempi, è simmetrico, ovvero accade in tutti i sistemi di riferimento inerziali presi in considerazione (bisogna però analizzare attentamente il sistema in cui il corpo è in quiete!)
L’invarianza delle lunghezze in direzione perpendicolare al moto relativo
Cosa accade quando le lunghezze sono perpendicolari alla direzione del moto? Si contraggono oppure rimangono invariate? La risposta è RIMANGONO INVARIATE! Per capire meglio possiamo prendere in considerazione un semplice esempio: immaginiamo un treno che si muove ad altissima velocità attraverso una galleria alta e larga abbastanza da farlo passare e analizziamo la situazione dal sistema di riferimento “treno” e dal sistema di riferimento “terreno”.
Rispetto al terreno, la galleria è ferma e il treno si muove. Se le dimensioni trasversali del treno si contraessero, esso risulterebbe più basso e più stretto, dunque passerebbe tranquillamente.
Rispetto al treno, la galleria, essendo in movimento, si contrarrebbe, ma se ciò accadesse anche alle dimensioni perpendicolari al moto, il treno non potrebbe più uscire dalla galleria!
Provando ad ammettere il fenomeno della contrazione delle dimensioni trasversali siamo caduti in contraddizione in quanto non è possibile che un incidente avvenga o non avvenga a seconda del sistema di riferimento da cui si guarda l’evento.
In conclusione possiamo affermare che le dimensioni trasversali alla direzione del moto non si contraggono!
Dilatazione dei tempi
Proseguiamo ora con un calcolo analogo alla contrazione dele lunghezze, ma partendo dalle equazioni temporali. Consideriamo in un determinato punto dello spazio due istanti diversi rispetto a £$S$£.
Chiamiamo i due istanti £$t_1$£ e £$t_2$£. Secondo la trasformazione di Lorentz £$t’_{1}=\gamma\cdot (t_{1}-\frac{v}{c^2}x)$£ e £$t’_{2}=\gamma\cdot (t_{2}-\frac{v}{c^2}x)$£.
Sottraiamo ora termine a termine ottenendo: £$t’_{1} - t’_{2}=\gamma\cdot (t_{1}-t_{2})$£. Osserviamo che £$t’_{1} - t’_{2}$£ è l’intervallo di tempo tra i due istanti per £$S’$£ (che chiameremo £$\Delta t’$£) mentre £$t_{1} - t_{2}$£ è l’intervallo di tempo per £$S$£ (che chiameremo £$\Delta t$£).
L’equazione è quindi: £$\Delta t’=\gamma\cdot \Delta t$£. Come per il calcolo precedente, £$\gamma>1$£ e quindi £$\Delta t’>\Delta t$£. L’intervallo di tempo per il sistema in movimento è maggiore. Per il sistema di riferimento £$S$£, in cui i due eventi accadono nella stessa posizione, l’intervallo di tempo risulta essere minore e £$\Delta t$£ viene definito intervallo di tempo proprio. Questo fenomeno relativistico si chiama dilatazione dei tempi e, come la contrazione delle lunghezze, è simmetrico, ovvero avviene in tutti i sistemi di riferimento presi in considerazione (bisogna però prestare attenzione al sistema in cui si misura l’intervallo di tempo proprio!).
Addizione relativistica delle velocità e trasformazioni di Lorentz
Tramite le trasformazioni di Lorentz abbiamo stravolto il concetto di spazio e di tempo, vediamo ora come queste nuove leggi influiscono sul calcolo della velocità.
Prima di iniziare è necessario distinguere la velocità con cui £$S$£ vede £$S’$£ che indichiamo con £$v$£ e le velocità di un oggetto in movimento calcolate in £$S$£ ed in £$S’$£ indicate con £$u$£ e £$u’$£. Anche in questo paragrafo le velocità saranno dirette solamente lungo la direzione £$x$£ per semplificare la situazione. Partiamo dalla definizione di velocità:
£$u=\frac{\Delta x}{\Delta t}=\frac{x_{2}-x_{1}}{t_{2}-t_{1}}$£.
Applicando alle 4 coordinate le trasformazioni di Lorentz e svolgendo le dovute semplificazioni otteniamo:
£$u=\frac{u’ + v}{1 + \frac{v \cdot u’}{c^2}}$£
Questa formula mette in relazione le due velocità del corpo misurate nei due diversi sistemi di riferimento. Osserviamo che se £$u=c$£ allora anche £$u’=c$£ e viceversa, in accordo con il secondo principio.
Quando le velocità dei sistemi di riferimento sono molto minori rispetto a quella della luce, la formula per la composizione delle velocità si riduce alla formula precedentemente proposta da Galileo.
Il paradosso dei gemelli
Nel post “Dilatazione dei tempi” abbiamo presentato solo un esempio generale del fenomeno. Con precisione, però, si può dire che esso concerne tutti gli eventi che avvengono in natura, anche le reazioni chimiche e i processi biologici.
Immaginiamo che due gemelli, Alberto e Marco, dell’età di 22 anni, decidano di partecipare ad un esperimento. Marco sale a bordo di un’astronave e parte per un viaggio verso un pianeta lontano che dura 10 anni (il tempo misurato da Marco è un tempo proprio), mentre Alberto resta a casa, sulla Terra. Applicando le dovute trasformazioni di Lorentz possiamo calcolare che, mentre per Marco il viaggio è durato un decennio, sulla Terra sono passati 32 anni! Ciò significa che, quando i due gemelli si incontrano di nuovo, Alberto ha 54 anni e Marco 32.
Concettualmente, se si facesse riferimento alla simmetria del fenomeno, il discorso non sarebbe proprio corretto; in questo caso, però, bisogna tener conto dell’inerzia dei sistemi di riferimento e dei principi della relatività generale! Alberto resta ad aspettare sulla Terra, la quale può essere considerata come un sistema approssimativamente inerziale; Marco, invece, si trova su di un sistema non inerziale in quanto l’astronave accelera durante il decollo e decelera quando atterra. Secondo i principi della relatività generale è giusto che il gemello più giovane al ritorno sia Marco!
