Addizione e sottrazione tra vettori: cosa significa e come funzionano queste operazioni tra vettori? Scoprilo con appunti ed esempi.

Addizione e sottrazione di vettori

Scopri le operazioni con i vettori, in particolare in questa lezione impareremo le somme e le diffrenze tra vettori. Verifica quanto imparato con gli esercizi della lezione successiva.

Adesso che sai cosa sono i vettori, scopri come si possono calcolare, sia per via geometrica che per via analitica, le somme e le differenze tra vettori.

Impara le proprietà principali delle operazioni tra vettori.

Impara anche perché sono importanti e utili queste operazioni, in particolare, ma non solo, in fisica.

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Prerequisiti per imparare addizione e sottrazione di vettori

Il prerequisito per imparare addizione e sottrazione di vettori è:

Cosa sono la somma e la differenza tra vettori

Se abbiamo due vettori £$\overrightarrow{v} = \overrightarrow{AB}$£ e £$\overrightarrow{w} = \overrightarrow{BC}$£, il vettore somma £$\overrightarrow{v} + \overrightarrow{w}$£ è dato dal segmento orientato che parte da £$A$£ e termina in £$C$£, oppure, equivalentemente, dalla diagonale £$\overrightarrow{AC}$£ del parallelogramma formato dai due vettori dati e dai due vettori ad essi equipollenti £$\overrightarrow{DC}$£ e £$\overrightarrow{AD}$£.
Il vettore differenza £$\overrightarrow{v} - \overrightarrow{w}$£ è invece dato dall’altra diagonale del parallelogramma, £$\overrightarrow{DB}$£.

Trovi gli esercizi su questo argomento nella lezione successiva.

Come si eseguono analiticamente l’addizione e la sottrazione tra vettori

Oltre all’interpretazione geometrica della somma e della differenza tra vettori, esiste anche una interpretazione analitica, che mette in relazione le componenti cartesiane del vettore somma e del vettore differenza con le componenti cartesiane dei vettori di partenza.

In un spazio cartesiano a N dimensioni, dati due vettori £$\overrightarrow{v} = (v_1, v_2, \dots, v_N)$£ e £$\overrightarrow{w} = (w_1, w_2, \dots, w_N)$£, il vettore somma è dato da da £$\overrightarrow{v} + \overrightarrow{w} = (v_1 + w_1, v_2 + w_2, \dots, v_N + w_N)$£. Analogamente, il vettore differenza è dato da £$\overrightarrow{v} - \overrightarrow{w} = (v_1 - w_1, v_2 - w_2, \dots, v_N - w_N)$£.

Trovi gli esercizi su questo argomento nella lezione successiva.

Quali sono le proprietà dell’addizione e della sottrazione tra vettori

L’addizione tra vettori gode delle seguenti proprietà:

  • proprietà commutativa: £$\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v} = \overrightarrow{v} + \overrightarrow{u}$£
  • proprietà associativa: £$(\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v}) + \overrightarrow{w} = \overrightarrow{u} + (\overrightarrow{v} + \overrightarrow{w})$£
  • esistenza dell’elemento neutro: £$\overrightarrow{u} + \overrightarrow{0} = \overrightarrow{u}$£
  • esistenza dell’elemento opposto: per ogni vettore £$\overrightarrow{v}$£ esiste il suo vettore opposto, che si indica con £$-\overrightarrow{v}$£, tale che £$\overrightarrow{v} +(-\overrightarrow{v}) = \overrightarrow{0}$£.

In particolare, il vettore nullo £$\overrightarrow{0}$£ è un vettore avente modulo uguale a zero.

Il vettore opposto è, come già visto, il vettore che ha uguale modulo, uguale direzione e verso opposto rispetto al vettore dato.

Una volta chiarito il concetto di vettore opposto, possiamo definire la differenza tra due vettori £$\overrightarrow{u}$£ e £$\overrightarrow{v}$£ come la somma tra il primo vettore £$\overrightarrow{u}$£ e l’opposto del secondo, £$- \overrightarrow{v}$£.

Trovi gli esercizi su questo argomento nella lezione successiva.