Prerequisiti per imparare i vettori
Il prerequisito per imparare i vettori è:
Scopri cosa sono i vettori e a cosa servono i vettori in fisica.
Impara a rappresentare un vettore in forma geometrica, come un segmento orientato, oppure indicando le sue componenti cartesiane.
Scopri infine cosa si intende per vettori equipollenti, per scomposizione di un vettore e per versori.
Scopri in questa lezione perché i vettori sono così utili non solo in matematica ma anche, e soprattutto, in molte scienze applicate, come la fisica.
Partiamo proprio dalla fisica, in particolare dal concetto di spostamento di un corpo, per capire cos’è un vettore e come esso sia caratterizzato da un modulo, da una direzione e da un verso.
Impara a rappresentare geometricamente i vettori, come segmenti orientati.
Impara come disegnare i vettori nel piano cartesiano bidimensionale e scopri cosa significa che due vettori sono tra di loro equipollenti.
Infine, impara a scomporre un vettore nelle sue componenti cartesiane e scopri il concetto di versore.
Il prerequisito per imparare i vettori è:
In fisica ci sono due tipi di grandezze:
Le prime si dicono grandezze scalari, le seconde grandezze vettoriali. Per esprimere una grandezza vettoriale, cioè per descrivere un vettore, abbiamo bisogno di tre informazioni:
Per rappresentare geometricamente un vettore puoi disegnare un segmento orientato, cioè un segmento con una freccia. In questo modo:
I due punti estremi di un vettore non sono intercambiabili: uno è il “punto iniziale” e l’altro il “punto finale” del vettore. Puoi indicare un vettore con la scrittura £$\overrightarrow{AB}$£, oppure, in alternativa, usando una lettera, ad esempio con £$\overrightarrow{v}$£. Un altro modo frequente di indicare un vettore è utilizzare il grassetto: £$\mathbf{v}$£. Il vettore £$\overrightarrow{BA}$£ non è uguale al vettore £$\overrightarrow{AB}$£: questi due vettori hanno infatti uguale modulo (£$\overline{AB} = \overline{BA}$£), uguale direzione, ma versi opposti, e si dicono opposti tra di loro.
Due vettori di uguale lunghezza appartenenti rispettivamente a due rette parallele hanno sicuramente uguale modulo e uguale direzione. Se anche il verso è lo stesso, si dice che i vettori sono equipollenti, altrimenti sono opposti.
Dato un vettore, puoi trovare infiniti altri vettori equipollenti al vettore dato. L’equipollenza è una relazione di equivalenza, perché:
L’insieme degli infiniti vettori equipollenti a un vettore dato costituisce quindi una classe di equivalenza che, per convenzione, viene definita vettore libero, o semplicemente vettore, e che è identificata univocamente dalla terna formata da modulo, direzione e verso.
Un vettore con direzione e verso qualsiasi, ma con modulo uguale a 1 viene chiamato vettore unitario, o versore, e viene indicato di solito con £$\hat v$£.
Un versore è utile per identificare una specifica direzione. Ogni vettore che si trovi lungo questa direzione può essere espresso con riferimento a questo versore: basta moltiplicare il versore per il modulo del vettore in questione, per ottenere il vettore stesso.
In un piano cartesiano possiamo definire i versori £$\hat i$£ e £$\hat j$£ associati rispettivamente alle direzioni dell’asse x e dell’asse y.
Analogamente, in uno spazio cartesiano a 3 dimensioni, possiamo definire i versori £$\hat i$£, £$\hat j$£ e £$\hat k$£ associati rispettivamente alle direzioni dell’asse £$x$£, dell’asse £$y$£ e dell’asse £$z$£.
Dato un qualunque vettore £$\overrightarrow{v}$£ con componenti £$v_x, v_y$£, si ha £$\overrightarrow{v} = v_x \hat i + v_y \hat j$£. Un ragionamento del tutto analogo può essere applicato a spazi cartesiani a più di 2 dimensioni.
Se tracci in un piano cartesiano le due rette passanti per gli estremi di un vettore £$\overrightarrow{v}$£ e perpendicolari agli assi, ottieni le proiezioni del vettore sui due assi. Le lunghezze di tali proiezioni sono dette componenti del vettore lungo gli assi cartesiani.
Attenzione!: la componente del vettore lungo l’asse £$x$£ devi considerarla col segno negativo se il verso del vettore punta a sinistra; la componente lungo l’asse £$y$£ devi considerarla negativa se il verso del vettore punta in basso.
Applicando i teoremi della trigonometria e il teorema di Pitagora al triangolo rettangolo formato dal vettore £$\overrightarrow{v}$£ e dalle rette perpendicolari agli assi, puoi determinare:
Se tracci in un piano cartesiano le due rette passanti per gli estremi di un vettore £$\overrightarrow{v}$£ e perpendicolari agli assi, ottieni le proiezioni del vettore sui due assi. Le lunghezze di tali proiezioni sono dette componenti del vettore lungo gli assi cartesiani.
Geometricamente: traccio il vettore £$\overrightarrow{a}$£, in modo che la sua coda coincida con l'origine del piano cartesiano; dalla punta del vettore £$\overrightarrow{a}$£ traccio le perpendicolari ai due assi cartesiani, individuando sui due assi le componenti, che partono dalla coda del vettore e arrivano fino al punti di intersezione.
Analiticamente: indicando con £$\alpha$£ l'angolo formato dal vettore £$\overrightarrow{a}$£ con il semiasse positivo dell'asse x, otteniamo le due componenti applicando i teoremi della trigonometria:
£$a_x = a \cdot cos \alpha$£ £$a_y = a \cdot sin \alpha$£
Il vettore può essere a questo punto individuato anche mediante le sue componenti, indicandolo in due diversi modi:
£$\overrightarrow{a} (a_x;a_y) = a_x\hat{i} + a_y\hat{j}$£
dove £$\hat{i}$£ e £$\hat{j}$£ sono, rispettivamente, i versori associati agli assi x e y del piano cartesiano.
Si può verificare (sia analiticamente che geometricamente) che:
se £$0° < \alpha < 90° \: : \: a_x>0; a_y>0$£: in questo caso il vettore £$\overrightarrow{a}$£ con coda nell'origine del piano cartesiano ha la punta nel primo quadrante;
se £$90° < \alpha < 180° \: : \: a_x<0; a_y>0$£: in questo caso il vettore £$\overrightarrow{a}$£ con coda nell'origine del piano cartesiano ha la punta nel secondo quadrante;
se £$180° < \alpha < 270° \: : \: a_x<0; a_y<0$£: in questo caso il vettore £$\overrightarrow{a}$£ con coda nell'origine del piano cartesiano ha la punta nel terzo quadrante;
se £$270° < \alpha < 360° \: : \: a_x>0; a_y<0$£: in questo caso il vettore £$\overrightarrow{a}$£ con coda nell'origine del piano cartesiano ha la punta nel quarto quadrante;
Per individuare univocamente possono essere date le sue componenti nel piano cartesiano, oppure il suo modulo e l’angolo che il vettore forma con il semiasse positivo dell’asse x. Abbiamo già visto che, dati modulo e angolo, possiamo ricavare la lunghezza delle componenti del vettore. Viceversa, possiamo determinare modulo e angolo a partire dalle componenti del vettore. Per determinare il modulo, è sufficiente applicare il teorema di Pitagora al triangolo rettangolo che ha come cateti le componenti del vettore e come ipotenusa il vettore stesso:
£$a = \sqrt{a_x^2 + a_y^2}$£
Per determinare l'angolo, è necessario usare le relazioni della trigonometria:
£$\alpha = arc tan\: \dfrac{a_y}{a_x}$£
Questa funzione è individuata sulla calcolatrice scientifica come seconda funzione del tasto £$tan$£, ovvero £$tan^{-1}$£
Se hai ancora poca dimestichezza con le funzioni goniometriche, tieni presente la seguente osservazione:
Se £$a_x<0$£ e £$a_y<0$£ o £$a_x<0$£ e £$a_y>0$£ :
£$\alpha = arc tan\: \dfrac{a_y}{a_x} + 180°$£
Se £$a_x>0$£ e £$a_y<0$£ :
£$\alpha = arc tan\: \dfrac{a_y}{a_x} + 360°$£
Nel caso in cui il vettore sia nel primo quadrante, il risultato della calcolatrice ti fornirà l’angolo formato dal vettore con la direzione positiva dell’asse x in gradi, senza bisogno di fare altro.