Prerequisiti per imparare i vettori
Il prerequisito per imparare i vettori è:
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Introduzione ai vettori: definizione
Scopri cosa sono i vettori e a cosa servono i vettori in fisica.
Impara a rappresentare un vettore in forma geometrica, come un segmento orientato, oppure indicando le sue componenti cartesiane.
Scopri infine cosa si intende per vettori equipollenti, per scomposizione di un vettore e per versori.
Appunti
Scopri in questa lezione perché i vettori sono così utili non solo in matematica ma anche, e soprattutto, in molte scienze applicate, come la fisica.
Partiamo proprio dalla fisica, in particolare dal concetto di spostamento di un corpo, per capire cos’è un vettore e come esso sia caratterizzato da un modulo, da una direzione e da un verso.
Impara a rappresentare geometricamente i vettori, come segmenti orientati.
Impara come disegnare i vettori nel piano cartesiano bidimensionale e scopri cosa significa che due vettori sono tra di loro equipollenti.
Infine, impara a scomporre un vettore nelle sue componenti cartesiane e scopri il concetto di versore.
Contenuti di questa lezione su: Introduzione ai vettori: definizione
Cosa sono e a che cosa servono i vettori
In fisica ci sono due tipi di grandezze:
- quelle che possono essere espresse semplicemente tramite un numero, riferito a un’unità di misura (ad esempio, la lunghezza, il tempo, la temperatura, l’energia)
- quelle per le quali un numero e un’unità di misura non bastano (ad esempio, lo spostamento, la velocità, l’accelerazione)
Le prime si dicono grandezze scalari, le seconde grandezze vettoriali. Per esprimere una grandezza vettoriale, cioè per descrivere un vettore, abbiamo bisogno di tre informazioni:
- un modulo (detto anche intensità), cioè l’informazione numerica rapportata a un’unità di misura
- una direzione
- un verso
Come rappresentare geometricamente un vettore
Per rappresentare geometricamente un vettore puoi disegnare un segmento orientato, cioè un segmento con una freccia. In questo modo:
- il modulo del vettore è indicato dalla lunghezza del segmento;
- la direzione del vettore corrisponde alla retta alla quale appartiene il segmento orientato, o a una qualsiasi altra retta parallela;
- il verso del vettore è indicato dalla punta della freccia.
I due punti estremi di un vettore non sono intercambiabili: uno è il “punto iniziale” e l’altro il “punto finale” del vettore. Puoi indicare un vettore con la scrittura £$\overrightarrow{AB}$£, oppure, in alternativa, usando una lettera, ad esempio con £$\overrightarrow{v}$£. Un altro modo frequente di indicare un vettore è utilizzare il grassetto: £$\mathbf{v}$£. Il vettore £$\overrightarrow{BA}$£ non è uguale al vettore £$\overrightarrow{AB}$£: questi due vettori hanno infatti uguale modulo (£$\overline{AB} = \overline{BA}$£), uguale direzione, ma versi opposti, e si dicono opposti tra di loro.
Cosa significa che due vettori sono equipollenti
Due vettori di uguale lunghezza appartenenti rispettivamente a due rette parallele hanno sicuramente uguale modulo e uguale direzione. Se anche il verso è lo stesso, si dice che i vettori sono equipollenti, altrimenti sono opposti.
Dato un vettore, puoi trovare infiniti altri vettori equipollenti al vettore dato. L’equipollenza è una relazione di equivalenza, perché:
- ogni vettore è equipollente a se stesso (proprietà riflessiva);
- se £$\overrightarrow{u}$£ è equipollente a £$\overrightarrow{v}$£, allora £$\overrightarrow{v}$£ è equipollente a £$\overrightarrow{u}$£ (proprietà simmetrica);
- se £$\overrightarrow{u}$£ è equipollente a £$\overrightarrow{v}$£ e £$\overrightarrow{v}$£ è equipollente a £$\overrightarrow{w}$£, allora £$\overrightarrow{u}$£ è equipollente a £$\overrightarrow{w}$£ (proprietà transitiva).
L’insieme degli infiniti vettori equipollenti a un vettore dato costituisce quindi una classe di equivalenza che, per convenzione, viene definita vettore libero, o semplicemente vettore, e che è identificata univocamente dalla terna formata da modulo, direzione e verso.
Cosa sono i versori
Un vettore con direzione e verso qualsiasi, ma con modulo uguale a 1 viene chiamato vettore unitario, o versore, e viene indicato di solito con £$\hat v$£.
Un versore è utile per identificare una specifica direzione. Ogni vettore che si trovi lungo questa direzione può essere espresso con riferimento a questo versore: basta moltiplicare il versore per il modulo del vettore in questione, per ottenere il vettore stesso.
In un piano cartesiano possiamo definire i versori £$\hat i$£ e £$\hat j$£ associati rispettivamente alle direzioni dell’asse x e dell’asse y.
Analogamente, in uno spazio cartesiano a 3 dimensioni, possiamo definire i versori £$\hat i$£, £$\hat j$£ e £$\hat k$£ associati rispettivamente alle direzioni dell’asse £$x$£, dell’asse £$y$£ e dell’asse £$z$£.
Dato un qualunque vettore £$\overrightarrow{v}$£ con componenti £$v_x, v_y$£, si ha £$\overrightarrow{v} = v_x \hat i + v_y \hat j$£. Un ragionamento del tutto analogo può essere applicato a spazi cartesiani a più di 2 dimensioni.
Cosa significa scomporre un vettore nelle sue componenti
Se tracci in un piano cartesiano le due rette passanti per gli estremi di un vettore £$\overrightarrow{v}$£ e perpendicolari agli assi, ottieni le proiezioni del vettore sui due assi. Le lunghezze di tali proiezioni sono dette componenti del vettore lungo gli assi cartesiani.
Attenzione!: la componente del vettore lungo l’asse £$x$£ devi considerarla col segno negativo se il verso del vettore punta a sinistra; la componente lungo l’asse £$y$£ devi considerarla negativa se il verso del vettore punta in basso.
Applicando i teoremi della trigonometria e il teorema di Pitagora al triangolo rettangolo formato dal vettore £$\overrightarrow{v}$£ e dalle rette perpendicolari agli assi, puoi determinare:
- le componenti del vettore, dati il suo modulo e l’angolo £$\alpha$£ compreso tra la direzione del vettore e l’asse £$x$£;
- l’angolo £$\alpha$£, date le componenti del vettore;
- il modulo del vettore, date le sue componenti.
Modi per scomporre un vettore nelle sue componenti
Se tracci in un piano cartesiano le due rette passanti per gli estremi di un vettore £$\overrightarrow{v}$£ e perpendicolari agli assi, ottieni le proiezioni del vettore sui due assi. Le lunghezze di tali proiezioni sono dette componenti del vettore lungo gli assi cartesiani.
Geometricamente: traccio il vettore £$\overrightarrow{a}$£, in modo che la sua coda coincida con l'origine del piano cartesiano; dalla punta del vettore £$\overrightarrow{a}$£ traccio le perpendicolari ai due assi cartesiani, individuando sui due assi le componenti, che partono dalla coda del vettore e arrivano fino al punti di intersezione.
Analiticamente: indicando con £$\alpha$£ l'angolo formato dal vettore £$\overrightarrow{a}$£ con il semiasse positivo dell'asse x, otteniamo le due componenti applicando i teoremi della trigonometria:
£$a_x = a \cdot cos \alpha$£ £$a_y = a \cdot sin \alpha$£
Il vettore può essere a questo punto individuato anche mediante le sue componenti, indicandolo in due diversi modi:
£$\overrightarrow{a} (a_x;a_y) = a_x\hat{i} + a_y\hat{j}$£
dove £$\hat{i}$£ e £$\hat{j}$£ sono, rispettivamente, i versori associati agli assi x e y del piano cartesiano.
Vettori e quadranti
Si può verificare (sia analiticamente che geometricamente) che:
se £$0° < \alpha < 90° \: : \: a_x>0; a_y>0$£: in questo caso il vettore £$\overrightarrow{a}$£ con coda nell'origine del piano cartesiano ha la punta nel primo quadrante;
se £$90° < \alpha < 180° \: : \: a_x<0; a_y>0$£: in questo caso il vettore £$\overrightarrow{a}$£ con coda nell'origine del piano cartesiano ha la punta nel secondo quadrante;
se £$180° < \alpha < 270° \: : \: a_x<0; a_y<0$£: in questo caso il vettore £$\overrightarrow{a}$£ con coda nell'origine del piano cartesiano ha la punta nel terzo quadrante;
se £$270° < \alpha < 360° \: : \: a_x>0; a_y<0$£: in questo caso il vettore £$\overrightarrow{a}$£ con coda nell'origine del piano cartesiano ha la punta nel quarto quadrante;
Dalle componenti al vettore
Per individuare univocamente possono essere date le sue componenti nel piano cartesiano, oppure il suo modulo e l’angolo che il vettore forma con il semiasse positivo dell’asse x. Abbiamo già visto che, dati modulo e angolo, possiamo ricavare la lunghezza delle componenti del vettore. Viceversa, possiamo determinare modulo e angolo a partire dalle componenti del vettore. Per determinare il modulo, è sufficiente applicare il teorema di Pitagora al triangolo rettangolo che ha come cateti le componenti del vettore e come ipotenusa il vettore stesso:
£$a = \sqrt{a_x^2 + a_y^2}$£
Per determinare l'angolo, è necessario usare le relazioni della trigonometria:
£$\alpha = arc tan\: \dfrac{a_y}{a_x}$£
Questa funzione è individuata sulla calcolatrice scientifica come seconda funzione del tasto £$tan$£, ovvero £$tan^{-1}$£
Se hai ancora poca dimestichezza con le funzioni goniometriche, tieni presente la seguente osservazione:
Se £$a_x<0$£ e £$a_y<0$£ o £$a_x<0$£ e £$a_y>0$£ :
£$\alpha = arc tan\: \dfrac{a_y}{a_x} + 180°$£
Se £$a_x>0$£ e £$a_y<0$£ :
£$\alpha = arc tan\: \dfrac{a_y}{a_x} + 360°$£
Nel caso in cui il vettore sia nel primo quadrante, il risultato della calcolatrice ti fornirà l’angolo formato dal vettore con la direzione positiva dell’asse x in gradi, senza bisogno di fare altro.
