Esercizi svolti, esempi e appunti per imparare come fare il prodotto tra un vettore e uno scalare. Scopri subito tutto in questa lezione!

Moltiplicazione di un vettore per uno scalare

Scopri come funziona il prodotto di un vettore per uno scalare. Impara il concetto di versore. Allenati con gli esercizi interattivi spiegati.

In questa lezione scopri anche come calcolare il prodotto di un vettore per uno scalare. Anche per questa operazione vedrai sia l’interpretazione geometrica che quella analitica, e ne scoprirai le principali applicazioni e le proprietà più importanti.

Infine, impara il concetto di versore. Il versore è utile in relazione alla rappresentazione dei vettori sul piano cartesiano e in uno spazio cartesiano a tre dimensioni.

Impara anche perché sono importanti e utili queste operazioni, in particolare, ma non solo, in fisica.

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Prerequisiti per imparare moltiplicazione di un vettore per uno scalare

I prerequisiti per imparare il prodotto di un vettore per uno scalare sono:

Cos'è la moltiplicazione di un vettore per uno scalare

Dato un vettore £$\overrightarrow{v}$£ e uno scalare, cioè un numero reale a, la moltiplicazione del vettore per lo scalare può ricadere in uno dei seguenti due casi:

  • £$a = 0$£, oppure £$\overrightarrow{v} = \overrightarrow{0}$£: £$a \cdot \overrightarrow{v} = \overrightarrow{0}$£
  • altrimenti, £$a \cdot \overrightarrow{v}$£ è un vettore che ha:

£$ \rhd $£ modulo uguale al modulo di £$\overrightarrow{v}$£ moltiplicato per il valore assoluto di £$a$£;
£$ \rhd $£ direzione invariata;
£$ \rhd $£ verso uguale a quello di £$\overrightarrow{v}$£ se £$a > 0$£, opposto altrimenti.

Quali sono le proprietà della moltiplicazione di un vettore per uno scalare

Nel post precedente hai visto la moltiplicazione di un vettore per uno scalare, che ha l’effetto di allungare o accorciare un vettore (eventualmente invertendone il verso se lo scalare è negativo). Questa operazione gode delle seguenti proprietà:

  • proprietà distributiva rispetto alla somma tra scalari: per ogni vettore £$\overrightarrow{v}$£ e per ogni scalare £$a$£ e £$b$£, si ha £$(a + b) \overrightarrow{v} = a \overrightarrow{v} + b \overrightarrow{v}$£
  • proprietà distributiva rispetto alla somma tra vettori: per ogni vettore £$\overrightarrow{u}$£, per ogni vettore £$\overrightarrow{v}$£ e per ogni scalare £$a$£, si ha £$a (\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v}) = a \overrightarrow{u} + a \overrightarrow{v}$£
  • proprietà associativa: per ogni vettore £$\overrightarrow{v}$£ e per ogni scalare £$a$£ e £$b$£, si ha £$a(b \overrightarrow{v}) = (ab) \overrightarrow{v}$£
  • esistenza dell’elemento neutro: per ogni vettore £$\overrightarrow{v}$£, si ha £$1 \overrightarrow{v} = \overrightarrow{v}$£.

Un’altra proprietà della moltiplicazione tra un vettore e uno scalare consiste nel fatto che, se del vettore £$\overrightarrow{v}$£ sono conosciute le componenti rispetto agli assi di un sistema cartesiano, moltiplicare il vettore per un numero reale £$a$£ equivale a moltiplicare ciascuna componente per £$a$£.

Cosa sono i versori e perchè moltiplicarli per uno scalare

Un vettore con direzione e verso qualsiasi, ma con modulo uguale a 1 viene chiamato vettore unitario, o versore, e viene indicato di solito con £$\hat v$£.

Un versore è utile per identificare una specifica direzione. Ogni vettore che si trovi lungo questa direzione può essere espresso con riferimento a questo versore: basta moltiplicare il versore per il modulo del vettore in questione, per ottenere il vettore stesso.

In un piano cartesiano possiamo definire i versori £$\hat i$£ e £$\hat j$£ associati rispettivamente alle direzioni dell’asse £$x$£ e dell’asse £$y$£.

Dato un qualunque vettore £$\overrightarrow{v}$£ con componenti £$v_x, v_y$£, si ha £$\overrightarrow{v} = v_x \hat i + v_y \hat j$£. Un ragionamento del tutto analogo può essere applicato a spazi cartesiani a più di 2 dimensioni.

Quindi attraverso la moltiplicazione tra versore e scalare possiamo ottenere qualunque vettore:

per esempio il vettore £$\overrightarrow{v} = 2 \hat i + 2 \hat j$£ può essere ottenuto moltiplicando il versore £$\dfrac{\sqrt{2}}{2} \hat i + \dfrac{\sqrt{2}}{2} \hat j$£ con lo scalare £$2\sqrt{2}$£.