La moltiplicazione di un vettore per uno scalare
La moltiplicazione di un vettore per uno scalare è una delle operazioni fondamentali della fisica e, in generale, delle operazioni tra i vettori. Pensate, ad esempio, al calcolo della forza in fisica o alla direzione e alla velocità del vento in meteorologia. Potrebbe sembrare un’operazione complessa, ma non preoccuparti: impareremo insieme come farla!
- Cos'è la moltiplicazione di un vettore per uno scalare
- Quali sono le proprietà della moltiplicazione di un vettore per uno scalare
- Cosa sono i versori e perchè moltiplicarli per uno scalare
La differenza tra le grandezze vettoriali e quelle scalari
Per comprendere appieno la moltiplicazione di un vettore per uno scalare, è essenziale capire le differenze fondamentali tra grandezze vettoriali e scalari.
Una grandezza scalare è caratterizzata da una sola informazione, ovvero la sua magnitudine. Esempi tipici di grandezze scalari sono la temperatura, la massa e l’energia: per descriverle, è sufficiente fornire un numero (e l’eventuale unità di misura). Un vettore, invece, è una grandezza che possiede sia magnitudine sia direzione. In altre parole, non basta un semplice numero per descriverlo: è necessario anche specificare una direzione nello spazio. Esempi comuni di grandezze vettoriali sono la forza, la velocità e l’accelerazione.
Quando moltiplichiamo un vettore per uno scalare, stiamo effettivamente modificando la sua magnitudine, mantenendo inalterata la sua direzione. Per esempio, se abbiamo un vettore che rappresenta una forza di 5 Newton in direzione est e lo moltiplichiamo per lo scalare 2, otterremo una nuova forza di 10 Newton, ancora in direzione est.
È fondamentale, quando si lavora con vettori e scalari, prestare attenzione a queste distinzioni. Mentre la moltiplicazione di due scalari produrrà sempre uno scalare, la moltiplicazione di un vettore per uno scalare produrrà un altro vettore, con una magnitudine diversa ma nella stessa direzione del vettore originale.
Cos’è la moltiplicazione di un vettore per uno scalare
Dato un vettore £$\overrightarrow{v}$£ e uno scalare, cioè un numero reale a, la moltiplicazione del vettore per lo scalare può ricadere in uno dei seguenti due casi:
- £$a = 0$£, oppure £$\overrightarrow{v} = \overrightarrow{0}$£: £$a \cdot \overrightarrow{v} = \overrightarrow{0}$£
- altrimenti, £$a \cdot \overrightarrow{v}$£ è un vettore che ha:
£$ \rhd $£ modulo uguale al modulo di £$\overrightarrow{v}$£ moltiplicato per il valore assoluto di £$a$£;
£$ \rhd $£ direzione invariata;
£$ \rhd $£ verso uguale a quello di £$\overrightarrow{v}$£ se £$a > 0$£, opposto altrimenti.
Quali sono le proprietà della moltiplicazione di un vettore per uno scalare
Nel post precedente hai visto la moltiplicazione di un vettore per uno scalare, che ha l’effetto di allungare o accorciare un vettore (eventualmente invertendone il verso se lo scalare è negativo). Questa operazione gode delle seguenti proprietà:
- proprietà distributiva rispetto alla somma tra scalari: per ogni vettore £$\overrightarrow{v}$£ e per ogni scalare £$a$£ e £$b$£, si ha £$(a + b) \overrightarrow{v} = a \overrightarrow{v} + b \overrightarrow{v}$£
- proprietà distributiva rispetto alla somma tra vettori: per ogni vettore £$\overrightarrow{u}$£, per ogni vettore £$\overrightarrow{v}$£ e per ogni scalare £$a$£, si ha £$a (\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v}) = a \overrightarrow{u} + a \overrightarrow{v}$£
- proprietà associativa: per ogni vettore £$\overrightarrow{v}$£ e per ogni scalare £$a$£ e £$b$£, si ha £$a(b \overrightarrow{v}) = (ab) \overrightarrow{v}$£
- esistenza dell’elemento neutro: per ogni vettore £$\overrightarrow{v}$£, si ha £$1 \overrightarrow{v} = \overrightarrow{v}$£.
Un’altra proprietà della moltiplicazione tra un vettore e uno scalare consiste nel fatto che, se del vettore £$\overrightarrow{v}$£ sono conosciute le componenti rispetto agli assi di un sistema cartesiano, moltiplicare il vettore per un numero reale £$a$£ equivale a moltiplicare ciascuna componente per £$a$£.
Cosa sono i versori e perchè moltiplicarli per uno scalare
Un vettore con direzione e verso qualsiasi, ma con modulo uguale a 1 viene chiamato vettore unitario, o versore, e viene indicato di solito con £$\hat v$£.
Un versore è utile per identificare una specifica direzione. Ogni vettore che si trovi lungo questa direzione può essere espresso con riferimento a questo versore: basta moltiplicare il versore per il modulo del vettore in questione, per ottenere il vettore stesso.
In un piano cartesiano possiamo definire i versori £$\hat i$£ e £$\hat j$£ associati rispettivamente alle direzioni dell’asse £$x$£ e dell’asse £$y$£.
Dato un qualunque vettore £$\overrightarrow{v}$£ con componenti £$v_x, v_y$£, si ha £$\overrightarrow{v} = v_x \hat i + v_y \hat j$£. Un ragionamento del tutto analogo può essere applicato a spazi cartesiani a più di 2 dimensioni.
Quindi attraverso la moltiplicazione tra versore e scalare possiamo ottenere qualunque vettore:
per esempio il vettore £$\overrightarrow{v} = 2 \hat i + 2 \hat j$£ può essere ottenuto moltiplicando il versore £$\dfrac{\sqrt{2}}{2} \hat i + \dfrac{\sqrt{2}}{2} \hat j$£ con lo scalare £$2\sqrt{2}$£.