Norma di vettore e prodotto vettoriale

Nello spazio vettoriale £$\mathbb{R}^n$£, abbiamo già visto come applicare il teorema di Pitagora per calcolare il modulo di un vettore £$\overrightarrow{v} = (v_1, v_2, \dots v_n)$£ a partire dalle sue componenti: £$v = \sqrt{v_1^2 + v_2^2 + \dots + v_n^2}$£. Allo stesso risultato possiamo ora arrivare se nello spazio vettoriale £$\mathbb{R}^n$£ è definito il prodotto scalare: calcolando la radice quadrata del prodotto scalare del vettore £$\overrightarrow{v}$£ per se stesso, otteniamo £$\sqrt{\overrightarrow{v} \cdot \overrightarrow{v}} = \sqrt{v_1^2 + v_2^2 + \dots + v_n^2}$£, che viene definita norma euclidea del vettore £$\overrightarrow{v}$£. Gli spazi vettoriali nei quali possiamo calcolare la lunghezza (o modulo) di un vettore, in quanto è definito il concetto di distanza tra due punti o, equivalentemente, le nozioni di prodotto scalare e di norma euclidea, sono chiamati spazi euclidei.

In uno spazio vettoriale £$V$£ si dice norma una qualunque funzione che assegna a ogni vettore di £$V$£ un numero reale e che soddisfa le seguenti proprietà (facciamo riferimento a due vettori qualsiasi £$\overrightarrow{u}$£ e £$\overrightarrow{v}$£ appartenenti a £$V$£, e a uno scalare qualsiasi £$\lambda$£):

1. £$\lVert \overrightarrow{v} \lVert \geq 0$£; in particolare, £$\lVert \overrightarrow{v} \lVert = 0$£ se e solo se £$\overrightarrow{v}$£ è il vettore nullo in £$V$£ (la norma è definita positiva);
2. £$\lVert \lambda\overrightarrow{v} \lVert = \vert \lambda \vert \lVert \overrightarrow{v} \lVert$£ (omogeneità);
3. £$\lVert \overrightarrow{u} + \overrightarrow{v} \lVert \leq \lVert \overrightarrow{u} \lVert + \lVert \overrightarrow{v} \lVert$£ (disuguaglianza triangolare).

Normalizzare un vettore significa determinare il versore che abbia la stessa direzione e lo stesso verso di quello originario, ma norma uguale a 1. Per normalizzare un vettore £$\overrightarrow{v}$£ è sufficiente:

1) calcolare la norma £$\lVert \overrightarrow{v} \lVert$£ del vettore;

2) moltiplicare il vettore per il reciproco della sua norma, cioè calcolare il vettore £$\frac{1}{\lVert \overrightarrow{v} \lVert}\overrightarrow{v}$£.

Nello spazio vettoriale £$\mathbb{R}^3$£, e soltanto qui, è definito un ulteriore prodotto tra vettori, che, a differenza del prodotto scalare, dà come risultato un vettore. Questa operazione si chiama prodotto vettoriale.
Dati due vettori £$\overrightarrow{u}$£ e £$\overrightarrow{v}$£ di £$\mathbb{R}^3$£, diciamo prodotto vettoriale tra i due il vettore £$\overrightarrow{u} \times \overrightarrow{v} = \lVert \overrightarrow{u} \lVert \cdot \lVert \overrightarrow{v} \lVert \cdot sin{\alpha} \cdot \overrightarrow{n}$£, dove £$\alpha$£ è l’angolo formato dai vettori £$\overrightarrow{u}$£ e £$\overrightarrow{v}$£, mentre £$\overrightarrow{n}$£ è il versore (cioè il vettore unitario) che è perpendicolare a entrambi i vettori £$\overrightarrow{u}$£ e £$\overrightarrow{v}$£, e il cui verso è individuato dalla regola della mano destra.
Quest’ultima dice che se apriamo la mano destra in modo che il pollice sia perpendicolare alle altre dita, e facciamo ruotare il palmo della mano in modo da far combaciare inizialmente le dita con il primo vettore, £$\overrightarrow{u}$£, e alla fine con il secondo vettore, £$\overrightarrow{v}$£, la direzione e il verso del prodotto vettoriale £$\overrightarrow{u} \times \overrightarrow{v}$£ è data dall’orientazione del pollice.