Il prodotto scalare: come si calcola

In matematica e fisica, è fondamentale distinguere tra grandezze scalari e vettoriali per una corretta interpretazione e rappresentazione dei fenomeni fisici. Questa distinzione è in particolare al centro di numerose operazioni algebriche che ci consentono di descrivere e analizzare il mondo che ci circonda. Una di queste operazioni, il prodotto scalare, è una chiave essenziale per comprendere la proiezione, l’ortogonalità e molte altre nozioni fondamentali nella geometria analitica e nella fisica.

Scopriamo come si calcola!

• Cos'è il prodotto scalare di due vettori
• Quali sono le proprietà del prodotto scalare
• Vettori perpendicolari

Cosa sono le grandezze scalari

Prima di cominciare, è bene ripassare cosa sono queste grandezze, così da averle ben chiare a mente e, soprattutto, qual è la differenza rispetto a tutte le altre. Le grandezze scalari sono quelle grandezze fisiche che vengono descritte da un solo numero e, eventualmente, da una unità di misura. A differenza delle grandezze vettoriali, non hanno una direzione o un senso associato. L’energia, la massa, la temperatura e il tempo sono esempi di grandezze scalari.

Essendo privi di direzione, i valori scalari sono generalmente più semplici da gestire matematicamente rispetto ai vettori. Per esempio, la somma di due scalari è semplicemente l’addizione algebrica dei loro valori, mentre la somma di due vettori richiede la considerazione sia della loro magnitudine che della loro direzione.

Cos’è il prodotto scalare di due vettori

In uno spazio vettoriale del tipo £$\mathbb{R}^n$£, per esempio il piano cartesiano £$\mathbb{R}^2$£, lo spazio cartesiano a tre dimensioni £$\mathbb{R}^3$£, o in generale lo spazio cartesiano a n dimensioni £$\mathbb{R}^n$£, si definisce prodotto scalare di due vettori £$\overrightarrow{u} = (u_1, u_2, \dots u_n)$£ e £$\overrightarrow{v} = (v_1, v_2, \dots v_n)$£ il numero reale £$\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} = u_1v_1 + u_2v_2 + \dots + u_nv_n$£.
Il risultato dell’operazione di prodotto scalare è quindi uno scalare, e non un vettore.
Nel caso particolare del piano cartesiano £$\mathbb{R}^2$£, il prodotto scalare tra due vettori £$\overrightarrow{u} = (u_x, u_y)$£ e £$\overrightarrow{v} = (v_x, v_y)$£ è uguale a £$\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} = u_xv_x + u_yv_y$£.
Nello spazio cartesiano a tre dimensioni £$\mathbb{R}^3$£, il prodotto scalare tra due vettori £$\overrightarrow{u} = (u_x, u_y, u_z)$£ e £$\overrightarrow{v} = (v_x, v_y, v_z)$£ è uguale a £$\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} = u_xv_x + u_yv_y + u_zv_z$£.

Quali sono le proprietà del prodotto scalare

Consideriamo due vettori £$\overrightarrow{u}$£ e £$\overrightarrow{v}$£ appartenenti a uno spazio vettoriale £$\mathbb{R}^n$£, e un numero reale £$\lambda$£. Il prodotto scalare dei due vettori gode delle seguenti proprietà:

commutatività: £$\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} = \overrightarrow{v} \cdot \overrightarrow{u}$£

omogeneità: £$(\lambda\overrightarrow{u}) \cdot \overrightarrow{v} = \overrightarrow{u} \cdot (\lambda\overrightarrow{v}) = \lambda(\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v})$£

distributività rispetto all’addizione: £$(\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v}) \cdot \overrightarrow{w} = \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{w} + \overrightarrow{v} \cdot \overrightarrow{w}$£ e £$\overrightarrow{u} \cdot (\overrightarrow{v} + \overrightarrow{w}) = \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} + \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{w}$£.

Il prodotto scalare non gode invece dell’ associatività. Infatti, un’espressione del tipo £$(\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v}) \cdot \overrightarrow{w}$£ è priva di senso in quanto il prodotto £$(\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v})$£ è il risultato di un prodotto scalare, e quindi un numero reale, e come tale non può essere il primo operando di un prodotto scalare, operazione che ha dei vettori come operandi. Il prodotto scalare £$\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v}$£ dello spazio vettoriale £$\mathbb{R}^n$£ può essere definito anche come £$uvcos(\alpha)$£, dove £$\alpha$£ è l’angolo compreso tra i due vettori £$\overrightarrow{u}$£ e £$\overrightarrow{v}$£, mentre £$u$£ e £$v$£ sono rispettivamente i moduli dei due vettori. Per dimostrarlo si ricorre al teorema del coseno. Grazie al primo teorema dei triangoli rettangoli, si può dimostrare che il prodotto scalare £$\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v}$£ è anche uguale al modulo di uno dei due vettori operandi, moltiplicato per la proiezione ortogonale dell’altro vettore sulla direzione del primo.

Vettori perpendicolari

Due vettori sono perpendicolari se e solo se il loro prodotto scalare è nullo.
Infatti, £$\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} = uvcos(\alpha)$£ può essere uguale a zero se e solo se sussiste uno dei seguenti casi:

• £$u = 0$£
• £$v = 0$£
• £$cos(\alpha) = 0$£

Nei primi due casi uno dei due vettori di partenza è nullo, mentre il terzo caso si verifica quando £$\alpha$£ è uguale a £$90^{\circ} + k \cdot 180^{\circ}$£, con £$k$£ intero, cioè quando i due vettori sono tra di loro perpendicolari.