Equazione della circonferenza: definizione

La circonferenza è il luogo geometrico dei punti equidistanti da un punto fisso, il centro. Possiamo quindi individuare una equazione che rappresenta l'insieme dei punti del piano di questo luogo geometrico.

Troviamo l'equazione della circonferenza!

1. Disegniamo una circonferenza di raggio £$r$£ in un piano cartesiano £$xOy$£ e chiamiamo £$x_0$£ e £$y_0$£ le coordinate del centro, cioè £$C(x_0;y_0)$£
2. Prendiamo un punto qualsiasi del piano di coordinate £$P(x;y)$£
3. Cerchiamo i valori delle coordinate in modo che £$P$£ sia un punto della circonferenza. Deve avere quindi distanza da uguale £$C$£ a £$r$£
4. Usiamo la formula della distanza tra due punti £$\overline{PC}=\sqrt{(x-x_0)^2+(y-y_0)^2}$£
5. Per essere un punto della circonferenza, deve valere £$\overline{PC}=r$£
6. Abbiamo quasi finito! Eleviamo al quadrato per togliere la radice £$(x-x_0)^2+(y-y_0)^2=r^2$£

Questa è l'equazione della circonferenzadati centro £$C(x_0;y_0)$£ e raggio £$r$£

Possiamo giocare con l'equazione e trovare un altro modo di scriverla.
Sviluppiamo i quadrati e portiamo £$r$£ a sinistra dell'uguale £$x^2-2x_0x+x_0^2+y^2-2y_0y+y_0^2-r^2=0$£

Ora, riordiniamo i termini e chiamiamo £$\begin{cases} a=-2x_0\\ b=-2y_0 \\ c=x_0^2+y_0^2-r^2 \end{cases}$£

Questa è l'equazione generale £$x^2+y^2+ax+by+c=0$£

Dopo aver visto l'equazione generale, vediamo come capire se è una circonferenza l'equazione: £$kx^2+hy^2+a'x+b'y+c'=0$£

Se i coefficienti di £$x^2$£ e £$y^2$£ sono DIVERSI allora sicuramente non lo è!
Se invece sono uguali (cioè £$k=h$£) può essere una circonferenza. Per riportarla alla forma che abbiamo visto prima, basta dividere per il coefficiente di £$x^2$£ e otteniamo £$x^2+y^2+ax+by+c=0$£ con £$\begin{cases} a=\frac{a'}{k}\\ b=\frac{b'}{k} \\ c=\frac{c'}{k} \end{cases}$£

A questo punto possiamo pensare che tutte le equazioni del tipo £$x^2+y^2+ax+by+c=0$£ rappresentino una circonferenza.

Attenzione! Il raggio deve essere positivo (o al massimo nullo, caso in cui la circonferenza si riduce a un punto ed è chiamata degenere)

La relazione che lega il raggio con i coefficienti è £$c=x_0^2+y_0^2-r^2$£
Possiamo ricavare da questa la C.E. della circonferenza di centro £$C(x_0;y_0)$£

£$c=x_0^2+y_0^2-r^2\Rightarrow r=\sqrt{x_0^2+y_0^2-c}$£

£$r\ge0\Rightarrow x_0^2+y_0^2-c\ge0$£

L'equazione generale della circonferenza è scritta in forma implicita cioè come un'equazione in due variabili del tipo £$F(x,y)=0$£

Ricordi? Anche le rette possono essere rappresentate in forma implicita come £$F(x,y)=a'x+b'y+c'=0$£

Per la retta possiamo scrivere la variabile £$y$£ in funzione di £$x$£: £$y=-\frac{a'}{b'}x-\frac{c'}{b'}=mx+q$£

Possiamo fare lo stesso per la circonferenza? La risposta è no!
Scopriamo perché!

Partiamo da un esempio molto semplice e consideriamo l'equazione di una circonferenza con centro nell'origine e raggio £$r$£: £$x^2+y^2=r^2$£

Ora risolviamo l'equazione in £$y$£, scriviamola cioè nella forma £$y=...$£ (si dice anche esplicitare £$y$£) e abbiamo £$y=\pm\sqrt{r^2-x^2}$£

Le equazioni sono 2: £$y_1=\sqrt{r^2-x^2}$£ e £$y_2=-\sqrt{r^2-x^2}$£

Non possiamo quindi trovare in modo univoco la £$y$£ di una circonferenza (troviamo sempre due valori), quindi NON è una funzione: a un valore di £$x$£ corrispondono due valori dell'ordinata £$y_1$£ e £$y_2$£

Le due equazioni ottenute da quella della circonferenza sono due funzioni: due semicirconferenze! £$y_1=\sqrt{r^2-x^2}$£ e £$y_2=-\sqrt{r^2-x^2}$£

Attenzione! È semplice capire se un grafico rappresenta una funzione: se esiste una retta verticale che taglia il grafico in più di un punto, quella non è una funzione!