Fasci di circonferenze: definizioni

Come nel caso dei fasci di rette, un fascio di circonferenze è un insieme di circonferenze con una caratteristica in comune.

Ma come scriviamo l'equazione di un fascio di circonferenze?

Prendiamo due circonferenze £$\gamma_1$£ e £$\gamma_2$£ due numeri reali £$p$£ e £$q$£ non entrambi nulli contemporaneamente, cioè se £$p=0 $£ allora £$q\neq0$£ e viceversa.

Il fascio di circonferenze è la combinazione lineare di £$\gamma_1$£ e £$\gamma_2$£ rispetto ai due coefficienti £$p$£ e £$q$£:

£$F:p(x^2+y^2+ax+by+c)+ $£ £$q(x^2+y^2+a'x+b'y+c)=0$£

£$\gamma_1$£ e £$\gamma_2$£ sono le generatrici del fascio di circonferenze £$F$£.

£$p$£ e £$q$£ non possono essere nulli contemporaneamente. Supponiamo allora che £$p\neq0$£ e dividiamo l'equazione di £$F$£ per £$p$£ e poniamo £$\frac{q}{p}=k$£.

L'espressione di £$F$£ diventa:

£$F:x^2+y^2+ax+by+c $£ £$+k(x^2+y^2+a'x+b'y+c)=0$£

Per capire come sono posizionate le circonferenze di un fascio le une rispetto alle altre, basta guardare le due generatrici.

• Se le due generatrici si intersecano in due punti abbiamo un fascio di circonferenze secanti.

I punti di intersezione £$A$£ e £$B$£ sono i punti base del fascio. La retta che passa per i punti base è l'asse radicale.

Troviamo l'equazione dell'asse radicale e le coordinate dei punti base risolvendo il sistema tra le due generatrici del fascio.

• Se le due generatrici sono tangenti in un punto allora tutte le circonferenze del fascio sono tangenti in quel punto che è il punto base. La retta tangente comune a tutte le circonferenze è l'asse radicale.

Un fascio di questo tipo è un fascio di circonferenze tangenti!

• Se le due generatrici non hanno punti in comune abbiamo un fascio di circonferenze senza punti in comune (possono essere interne o esterne tra loro).

Oppure se sono concentriche abbiamo ha un fascio di circonferenze concentriche.

Quando studiamo un fascio di circonferenze, dobbiamo trovare:

1. Le due generatrici
2. I punti base
3. L'asse radicale
4. Le circonferenze degeneri

Attenzione!
Una circonferenza degenere può essere una retta (circonferenza di raggio infinitamente grande) oppure un singolo punto (circonferenza di raggio nullo)

Attenzione!
Un fascio di circonferenze può essere una combinazione lineare di una circonferenza e di una retta, che rappresenta l'asse radicale del fascio.

• L'asse radicale è l'asse delle ascisse. Allora i punti base del fascio saranno i punti di intersezione della generatrice con l'asse £$x$£.
• Abbiamo una circonferenza degenere che è anche la generatrice (asse £$x$£).

Spesso per scrivere l'equazione di un fascio potresti non avere le equazioni delle generatrici (o una circonferenza e l'asse radicale), ma altre informazioni che ti permettono di trovare le equazioni delle generatrici e quindi l'equazione del fascio.