Grafico della circonferenza nel piano cartesiano

Vediamo come rappresentare sul piano cartesiano l'equazione della circonferenza £$x^2+y^2+ax+by+c=0$£

Iniziamo ricordando la relazione tra i coefficienti dell'equazione, il centro e il raggio e ricaviamo da queste relazioni le coordinate del centro e la misura del raggio £$\begin{cases} x_c=-\frac{a}{2}\\y_c=-\frac{b}{2}\\r=\sqrt{x_c^2+y_c^2-c}=\sqrt{\frac{a^2}{4}+\frac{b^2}{4}-c}\end{cases}$£

Se uno o più coefficienti a, b, c sono nulli, possiamo disegnare la circonferenza più facilmente.

• Caso £$a=0,b\neq0$£ e £$c\neq0\Rightarrow x^2+y^2+by+c=0$£
  Nell'equazione della circonferenza manca il termine di primo grado di £$x$£: il centro sta sull'asse £$y$£
  Il centro ha coordinate £$C(0;-\frac{b}{2})$£ e il raggio misura £$r=\sqrt{\frac{b^2}{4}-c}$£

• Caso £$b=0,a\neq0$£ e £$c\neq0\Rightarrow x^2+y^2+ax+c=0$£
  Questa volta, nell'equazione manca il termine di primo grado in £$y$£: il centro sta sull'asse £$x$£
  Il centro ha coordinate £$C(-\frac{a}{2};0)$£ e il raggio misura £$r=\sqrt{\frac{a^2}{4}-c}$£

• Caso £$c=0,a\neq0$£ e £$b\neq0\Rightarrow x^2+y^2+ax+by=0$£
  Se £$c\neq0$£, la circonferenza passa per l'origine degli assi!
  Il centro della circonferenza ha coordinate £$C(-\frac{a}{2};-\frac{b}{2})$£ e il raggio misura £$r=\sqrt{\frac{a^2}{4}-\frac{b^2}{4}}$£

Vediamo ora i casi in cui due coefficienti sono £$=0$£

• Caso £$a=0,b=0$£ e £$c\neq0\Rightarrow x^2+y^2+c=0$£
  È il caso più semplice da disegnare! Non ci sono i termini di primo grado di £$x$£ e £$y$£
  Il centro è nell'origine £$O$£, £$C(0;0)$£ e il raggio misura £$r=\sqrt{-c}$£
  Attenzione!
  Per essere una circonferenza deve valere £$c<0$£

• Caso £$a=0,c=0$£ e £$b\neq0\Rightarrow x^2+y^2+by=0$£
  La circonferenza passa per l'origine perché £$c=0$£
  Anche £$a=0$£ quindi il centro sta sull'asse £$y$£
  Le coordinate del centro sono £$C(0;-\frac{b}{2})$£ e il raggio misura £$r=\sqrt{\frac{b^2}{4}}=\frac{|b|}{2}$£

• Caso £$b=0,c=0$£ e £$a\neq0\Rightarrow x^2+y^2+ax=0$£
  La circonferenza passa per l'origine perché £$c=0$£
  Anche £$b=0$£ quindi il centro sta sull'asse £$x$£
  Le coordinate del centro sono £$C(-\frac{a}{2};0)$£ e il raggio misura £$r=\sqrt{\frac{a^2}{4}}=\frac{|a|}{2}$£