Come trovare le rette tangenti alla circonferenza: tutti i metodi
Una figura fondamentale della geometria analitica è la circonferenza, una curva chiusa in cui ogni punto è equidistante dal centro. Ma cosa succede quando introduciamo una linea retta nella miscela? E se quella linea tocca la nostra circonferenza solo in un punto? Questo è il punto di partenza per il nostro esame delle rette tangenti.
Nel corso di questo articolo, esploreremo come trovare le rette tangenti a una circonferenza nel piano cartesiano, una competenza fondamentale per la geometria analitica. Analizzeremo ciò che rende una linea una tangente, come le equazioni delle tangenti vengono derivate e come queste linee interagiscono con la circonferenza. Preparati a fare un tuffo profondo nel mondo della geometria analitica e scopriamo insieme tutto sulle rette tangenti!
In questa lezione imparerai:
- Rette tangenti: primo metodo: dove utilizziamo la condizione di tangenza
- Rette tangenti: secondo metodo: dove sfruttiamo la definizione di retta tangente
- Rette tangenti: terzo metodo: da usare solo se il punto appartiene alla circonferenza
- Cos'è una circonferenza e cosa sono le rette tangenti
- Come trovare le tangenti a una circonferenza nel piano cartesiano
- Come trovare le rette tangenti: 1° metodo
- Come trovare le rette tangenti: 2° metodo
- Come trovare le rette tangenti: 3° metodo
Cos’è una circonferenza e cosa sono le rette tangenti
Una circonferenza è una figura piana definita come l’insieme di tutti i punti in un piano che distano una certa quantità fissa, conosciuta come raggio, da un punto fisso chiamato centro. Nel piano cartesiano, la circonferenza viene rappresentata attraverso una equazione di secondo grado, la quale, nella sua forma standard, è£$ (x-h)² + (y-k)² = r²$£. Qui, (h, k) rappresenta le coordinate del centro e r è la lunghezza del raggio.
Una tangente alla circonferenza è una linea retta che tocca la circonferenza in un solo punto, chiamato punto di tangenza. Questo punto si distingue per il fatto che, se tracciamo una linea dal centro della circonferenza al punto di tangenza, questa linea sarà perpendicolare alla tangente. Nelle applicazioni pratiche, le tangenti giocano un ruolo chiave in vari settori, come l’ingegneria e la fisica.
Come trovare le tangenti a una circonferenza nel piano cartesiano
Per trovare le rette tangenti a una circonferenza nel piano cartesiano, avremmo bisogno di determinare prima il punto di tangenza. Ad esempio, supponiamo di avere un punto £$P(x1, y1)$£ nel piano che non è sulla circonferenza. Le linee tangenti dal punto alla circonferenza possono essere trovate risolvendo l’equazione delle tangenti: £$(x-x1)² + (y-y1)² = r²$£. Questa equazione rappresenta le possibili posizioni di un punto sulla circonferenza che può fungere da punto di tangenza.
Per risolvere questa equazione, potremmo dover utilizzare metodi come il completamento del quadrato o la formula quadratica. Scopriamoli insieme nei prossimi paragrafi!
Come trovare le rette tangenti: 1° metodo
Concentriamoci ora sulle rette tangenti a una circonferenza. Un punto £$P$£ rispetto a una circonferenza £$\gamma$£ può essere:
- esterno a £$\gamma$£: ci sono due tangenti per £$P$£ alla circonferenza;
- punto di £$\gamma$£: esiste una sola tangente per £$P$£ alla circonferenza;
- interno a £$\gamma$£: non ci sono rette tangenti alla circonferenza e passanti per £$P$£.
Come facciamo a trovare le equazioni delle rette tangenti, quando esistono?
Come primo metodo, utilizziamo la condizione di tangenza: il discriminante dell’equazione risolvente deve essere nullo. L’obiettivo è trovare l’equazione della retta tangente passante per un punto £$P(x_0;y_0)$£
Il procedimento da seguire è:
- scrivere la generica retta che passa per £$P$£: £$y-y_0=m(x-x_0)$£
L’unica cosa che non conosciamo è £$m$£, il coefficiente angolare! - mettere questa equazione a sistema con quella della circonferenza
- trovare l’equazione risolvente e calcolare il discriminante
- il discriminante dipende da £$m$£: imponiamo che il discriminante sia uguale a zero. Così troviamo il valore del coefficiente angolare £$m$£ che rende la retta tangente!
Come trovare le rette tangenti: 2° metodo
Il secondo metodo per trovare l’equazione delle tangenti a una circonferenza passanti per un punto £$P$£ sfrutta la definizione di retta tangente.
Una circonferenza di raggio £$r$£ è tangente ad una retta se la distanza £$d$£ di questa retta dal centro £$C$£ è uguale al raggio.
Procediamo così:
- troviamo il fascio di rette passanti per il punto £$P$£
- imponiamo che la distanza del centro £$C$£ dalla retta sia uguale a £$r$£
Come trovare le rette tangenti: 3° metodo
Il terzo metodo vale solo se il punto £$P$£ appartiene alla circonferenza.
In questo caso, possiamo trovare la retta tangente £$t$£ come retta perpendicolare al raggio che unisce £$P$£ con il centro £$C$£
I passi da seguire sono:
- trovare le coordinate del centro £$C$£
- ricavare il coefficiente angolare £$m’$£ della retta che passa per £$P$£ e per £$C$£
- La retta tangente è perpendicolare alla retta trovata prima, quindi £$m=-\frac{1}{m’}$£
- Sostituire il valore di £$m$£ nel fascio di rette passanti per £$P$£