Le equazioni esponenziali sono equazioni in cui l'incognita compare all'esponente. Ma quali regole bisogna seguire per risolvere le equazioni esponenziali? Il metodo più semplice consiste nel trasformare il primo e il secondo membro dell'equazione in potenze con la stessa base. Esistono però anche altri modi per risolvere le espressioni esponenziali con i logaritmi, per sostituzione o con il metodo grafico. Scoprili in questa lezione.
Le equazioni esponenziali sono quelle in cui l'incognita compare all'esponente.
Oltre a conoscerne la definizione, è importante saper risolvere un'equazione esponenziale. La strada più semplice che puoi percorrere consiste nel trasformare il primo e il secondo membro dell'equazione in potenze con la stessa base. In questo modo, l'uguaglianza tra le potenze è equivalente all'uguaglianza degli esponenti.
Esistono però anche le equazioni esponenziali risolvibili con i logaritmi, per sostituzione e con il metodo grafico: divertiti a provare tutti e quattro i metodi.
Una volta che ti sei ricondotto alla forma £$ a^{f(x)}=b $£, se non riesci a scrivere £$ b $£ come potenza di £$ a $£ , l'unico modo per uscirne è usare il logaritmo.
Ricorda che:
£$ a^{f(x)}=b $£ £$⇔$£ £$ f(x)=log_a(b) $£
Se hai già studiato i logaritmi, sai come risolverla...e se non ti ricordi, non ti preoccupare e guarda qui!
Ad esempio:
£$ 2^{x+1} \cdot 5^{x-1}=2 \cdot 3^x $£ applica il logaritmo ad entrambi i membri
£$\log (2^{x+1} \cdot 5^{x-1})= \log (2 \cdot 3^x) $£ usa le proprietà dei logaritmi
£$(x +1) \log 2 + (x-1) \log 5 = \log2 + x \log 3 $£ svolgi le moltiplicazioni
£$x \log 2 + \log 2 + x \log 5 - \log 5 = \log 2 + x \log 3 $£ raccogli la £$ x $£
£$x (\log 2 + \log 5 - \log 3) = \log 5 $£
£$x = \frac {\log5} {(1 - log3)} $£
Nel caso in cui ti trovi davanti ad un'equazione esponenziale dall'aspetto complicato, in cui compaiono somme e differenze tra più esponenziali, applica il metodo di sostituzione.
Sostituisci il termine esponenziale che si ripete con una nuova variabile.
Ad esempio:
£$ 2^{1-x} + 2^{x+1}=4 $£
£$ \frac{2}{2^x} +2^x \cdot 2=4 $£ sostituisci £$ y=2^x $£
£$ \frac{2}{y} + y \cdot 2 = 4 $£
£$ 2 + 2y^2 - 4y = 0 $£ dividiamo tutto per 2
£$ y^2 - 2y + 1 = 0 \Leftrightarrow (y - 1)^2 = 0 $£ che ha soluzione £$ y = 1 $£
Risostituisci la £$ x $£ e trovi: £$ y = 2^x = 1 \\ x = 0 $£
Se hai un'equazione esponenziale del tipo:
£$ a^{f(x)}=g^{x} $£
ovvero un'equazione in cui l'incognita non compare solo all'esponente, l'unico modo è procedere con il metodo grafico.
Devi scrivere l'equazione come un sistema:
£$\begin{cases} y = a^{f(x)} \\ y = g^{(x)} \\ \end{cases} $£
e tracciare il grafico delle curve £$ y=a^{f(x)} $£ e £$ y=g^{(x)} $£
