Come risolvere i logaritmi

Non riesci a capire il concetto di Logaritmo? In questa lezione ti daremo definizione, proprietà e formule per risolverli facilmente. Guarda le nostre videolezioni e fai pratica con gli esercizi interattivi spiegati

Per sapere come risolvere i logaritmi devi prima conoscerli!

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1. Definizione di logaritmo



£$x=log_a\,b$£

Il numero £$a$£ si chiama base del logaritmo, mentre £$b$£ è il suo argomento.

Il logaritmo di un numero è l'esponente £$x$£ a cui elevare la base £$a$£ per ottenere l'argomento £$b$£ ovvero £$a^x=b$£.

Nota bene:

  • la base £$a$£ deve essere positiva: £$a>0$£
  • la base £$a$£ deve essere diversa da £$1$£: £$a≠1$£

Attenzione! Il logaritmo di numeri negativi non esiste!

Adesso che hai capito come funzionano i logaritmi, non avrai più problemi. Per la scuola però può esserti d'aiuto approfondire la lezione sui logaritmi.

2. Proprietà dei logaritmi



i. La proprietà del prodotto

Il logaritmo di un prodotto è la somma dei logaritmi: £$log_a(b_1 \cdot b_2)=log_ab_1+log_ab_2$£ con £$b_1>0 \wedge b_2>0$£.

ii. La proprietà del quoziente

Il logaritmo di un quoziente è la differenza dei logaritmi: £$log_a \frac{b_1}{b_2}=log_ab_1-log_ab_2$£ con £$b_1>0 \wedge b_2>0$£.

iii. La proprietà della potenza

Il logaritmo di un numero elevato ad una costante è uguale a quella costante moltiplicata per il logaritmo del numero: £$log_ab^k=klog_a b$£ con £$b>0$£.

iv. Le proprietà elementari
  • Il logaritmo di £$1$£ è £$0$£: £$log_a 1=0$£.
  • Il logaritmo in base £$a$£ di £$a$£ è £$1$£: £$log_a\,a=1$£

Ti può essere utile ripassare tutte le proprietà delle potenze. ;)

3. Formula del cambiamento di base



Per trovare il logaritmo di £$b$£ in una base £$a$£ qualsiasi, puoi usare la formula del cambiamento di base: £$log_ab=\frac{log_cb}{log_ca}$£

Le basi più comuni e più importanti sono la base £$10$£ e la base £$ e \simeq 2,71828... $£. Basta conoscere i logaritmi in queste basi (anzi, in una sola) per poter ottenere tutti gli altri!

Come si risolvono i logaritmi


Ora sei pronto per risolvere i logaritmi!

È possibile avere le tavole dei logaritmi di tutti i numeri rispetto a tutte le basi possibili?

Sarebbe come se la tua calcolatrice potesse avere infiniti tasti per i logaritmi, uno per ogni possibile base! Guarda come sarebbe la tavola dei logaritmi in base 10.

Le calcolatrici di solito hanno solo due tasti per i logaritmi:

  • Il tasto £$ log $£ calcola i logaritmi decimali, cioè quelli con base £$ a=10 $£
  • Il tasto £$ ln $£ calcola invece i logaritmi neperiani o naturali, che hanno base £$ a=e $£

Come risolvere i logaritmi - Esempio 1



Quanto vale £$log_{\frac{1}{3}} 27 $£ ?

Basta pensare alla definizione: il logaritmo di un numero è l'esponente da dare alla base, che qui è £$ \frac{1}{3} $£, per ottenere l'argomento, che qui è £$27$£.

Allora, dato che £$ 27 = 3^3 $£, trovi che £$ \left( \frac{1}{3} \right)^{-3} = 27 $£, cioè £$log_{\frac{1}{3}} 27 = -3 $£.

 

Come risolvere i logaritmi - Esempio 2


Come risolvere i logaritmi - Esempio 2

E se compare un'incognita all'argomento come in questo caso £$log_5 x=3$£ ?

Prima di tutto imponi che £$x>0$£ perché non esistono i logaritmi di numeri negativi.

Poi pensa alla definizione: il logaritmo (cioè £$3$£) è l'esponente da dare alla base (qui il £$5$£) per ottenere l'argomento (l'incognita).

Allora £$ x=5^3=125$£

Ma come ci siamo arrivati?

Per scoprirlo guarda tutta la lezione sulle equazioni logaritmiche!

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