Disequazioni di secondo grado e fratte con modulo: come risolverle

Scopri i diversi tipi di disequazioni di secondo grado con uno o più moduli (valore assoluto). Possono esserci anche più moduli in una disequazione!

Ricorda i sistemi di disequazioni per riuscire a trovare la soluzione delle disequazioni con modulo.

Appunti

Come si risolvono le disequazioni modulari, serve conoscere le disequazioni di secondo grado? Hai imparato cosa sono e come si risolvono le disequazioni ed i sistemi di disequazioni, ora sei pronto ad imparare le disequazioni modulari, ossia quelle in cui compare l'incognita all'interno del valore assoluto.

In questa video lezione imparerai:

  • Disequazioni con il modulo: definizione
  • Disequazioni del tipo £$ \left| A\left(x \right)\right| > k$£ o £$\left| A \left( x \right)\right| < k$£: cosa sono e come si risolvono le disequazioni modulari del tipo £$ \left| A \left( x \right)\right| > k $£ o £$ \left| A \left( x\right)\right| < k$£
  • Risoluzione disequazioni con un modulo: quali sono e come si risolvono
  • Risoluzione disequazioni con uno o più moduli: quali sono e come si risolvono

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Prerequisiti per imparare a risolvere le disequazioni di secondo grado e fratte con modulo

I prerequisiti per imparare a risolvere le disequazioni di secondo grado e fratte con modulo sono:

Come risolvere le disequazioni £$|A(x)| < k $£ o £$|A(x)| > k $£

Nelle disequazioni di II grado possono comparire uno o più termini con modulo (valore assoluto).

Il caso più semplice è quello di disequazioni modulari in cui fuori dal valore assoluto si trova solo un numero, £$k$£, che può essere positivo o negativo.

Se il numero è negativo, cioè £$k<0$£:

  • £$\left| A \left( x \right) \right| > k$£ ha soluzione per ogni valore di £$x$£, perché un modulo è sempre £$ > $£ o £$=0$£, quindi sempre £$ > $£ di un numero negativo;
  • £$ \left| A \left( x \right)\right| < k$£ è impossibile, perché un modulo è sempre £$ > 0$£ o £$=0$£, quindi mai £$ < $£ di un numero negativo.

Se il numero è positivo, cioè £$k>0$£:

  • £$\left| A \left( x \right)\right|< k $£ allora £$-k < A \left( x \right)< k$£ significa che il valore assoluto di £$A \left(x \right)$£ è £$ < k$£ quindi può valere qualsiasi numero tra £$0$£ e £$k$£ o qualsiasi numero tra £$-k$£ e £$0$£.
  • £$ \left| A \left( x \right)\right| > k $£ allora £$ A \left( x \right) < -k$£ o £$ A\left( x\right) > k$£ significa che il valore assoluto di £$ A \left(x \right)$£ è £$ < k$£ quindi può valere qualsiasi numero £$ > k $£ o qualsiasi numero £$ < - k $£.

Qual è la risoluzione di disequazioni con uno o più moduli

Ecco come risolvere le disequazioni con un modulo:

  • Studia il segno dell'argomento del modulo, ovvero trova in quali intervalli l'argomento del modulo è £$ > 0$£ o £$ < 0$£;
  • Riscrivi la disequazione senza modulo (e con i segni cambiati opportunamente in base all'intervallo che stiamo considerando);
  • Risolvi i sistemi;
  • Ricava la soluzione totale della disequazione trovando l'unione della soluzione dei singoli sistemi.

Una disequazione può avere anche più di un modulo. Il procedimento per risolverla è lo stesso ma solo un po' più lungo:

  • studia il segno dei moduli;
  • dividi tutti i possibili casi;
  • risolvi i sistemi associati.
  • la soluzione della disequazione è data dall'unione delle soluzioni di ogni sistema.

Cosa potrebbero chiederti nell'interrogazione

Ora che hai imparato come risolvere tutti i tipi di disequazione con uno o più moduli, puoi provare a rispondere alle domande dell'interrogazione! Magari saranno quelle che ti chiederà domani il professore!

Sfida sulla disequazioni di secondo grado con modulo

Hai deciso di fare un gioco durante la tua festa in cui si guadagneranno delle fiches! Inizialmente tutti hanno £$4$£ fiches e per passare alla fase successiva dovrai avere un bilancio che in modulo è £$<6$£. Per scoprire quante fiches deve avere un invitato per arrivare alla fase finale dovrai risolvere una disequazione con il modulo! Non sai ancora che cos'è e come si risolve? Allora riguarda i video e fai gli esercizi!