Condizioni per trovare l'ellisse

L'equazione dell'ellisse in forma canonica ha due parametri, £$ a^2 $£ e £$ b^2 $£, quindi sono necessarie due condizioni per determinare l'equazione di un'ellisse.

Per trovare l'equazione dell'ellisse, basta conoscere le coordinate di due suoi punti. Questi due punti non devono essere simmetrici rispetto all'asse £$x$£, all'asse £$y$£ o all'origine, altrimenti danno un'informazione sola e non due diverse.

Possiamo ricavare altre condizioni utili per trovare l'equazione dell'ellisse sapendo:

• su quale asse si trovano i fuochi: se i fuochi si trovano sull'asse £$x$£ sappiamo che £$a^2 > b^2$£, se invece i fuochi si trovano sull'asse £$y$£ allora £$a^2 < b^2$£
• un punto £$P$£ dell'ellisse
• l'eccentricità. La formula da usare dipende dalla posizione dei fuochi:
  • se £$a^2 > b^2 $£ allora £$e = \frac{c}{a}=\frac{\sqrt{a^2-b^2}}{a}$£
  • se £$a^2 < b^2 $£ allora £$e = \frac{c}{b}=\frac{\sqrt{b^2-a^2}}{b}$£

Attenzione! Se il punto che conosciamo è uno dei vertici, allora non dobbiamo sostituire le coordinate nell'equazione canonica dell'ellisse, ma conosciamo già il valore di £$a^2$£ o di £$b^2$£. Possiamo ricavare l'altro parametro con la formula dell'eccentricità.

Possiamo trovare l'equazione canonica di un ellisse sapendo l'equazione di una retta tangente. Oltre a questa informazione, ne serve un'altra: potrebbe essere le coordinate di un fuoco oppure di un punto dell'ellisse.

In ognuno di questi casi mettiamo a sistema l'equazione generica dell'ellisse e l'equazione della retta tangente, imponendo poi che il £$ \Delta $£ dell'equazione risolvente sia nullo. Troviamo un nuovo sistema con incognite £$a^2$£ e £$b^2$£ e possiamo determinarli in maniera unica utilizzando l'altra informazione, cioè il fuoco oppure il punto.