Ellisse e retta

In quale posizione può trovarsi una retta rispetto ad un'ellisse? Una retta può essere:

• secante all'ellisse: ci sono due punti di intersezione;
• tangente all'ellisse: c'è un unico punto di intersezione;
• esterna all'ellisse: non ci sono punti di intersezione.

Possiamo analizzare le posizioni reciproche fra retta ed ellisse dalle soluzioni del sistema fra l'equazione dell'ellisse e della retta.
Il sistema può essere:

• Determinato con due soluzioni distinte (se £$\Delta > 0$£ nell'equazione risolvente) e quindi la retta è secante all'ellisse;
• Determinato con una sola soluzione (se £$\Delta = 0$£ nell'equazione risolvente), perciò la retta è tangente all'ellisse;
• Impossibile (se £$\Delta < 0$£ nell'equazione risolvente) , allora la retta è esterna all'ellisse.

Dato un punto £$P$£ esterno all'ellisse, per £$P$£ passano due rette tangenti all'ellisse. Per trovare l'equazione di queste rette o i punti di tangenza, risolviamo il sistema fra una generica retta passante per £$P$£ (quindi di equazione £$y-y_P=m(x-x_P)$£) e l'equazione dell'ellisse, imponendo che il £$\Delta$£ dell'equazione risolvente sia nullo, e quindi che il sistema abbia una soluzione unica.

Per calcolare l'equazione di una retta tangente all'ellisse conoscendo l'equazione dell'ellisse e il punto £$P(x;y)$£ di tangenza, possiamo applicare la formula di sdoppiamento:

£$\frac{x \cdot x_0}{a^2}+ \frac{y \cdot y_0}{b^2}=1$£