Prerequisiti per imparare le posizioni reciproche di ellisse e retta
I prerequisiti per imparare le posizioni reciproche di ellisse e retta sono:
Ellisse e retta
Scopri le posizioni reciproche di ellisse e retta, le rette tangenti da un punto esterno e infine la formula di sdoppiamento.
La posizione reciproca fra rette e curve è una parte importante della geometria analitica. Abbiamo visto le posizioni reciproche tra rette, tra rette e parabola e tra rette e circonferenza, facciamo lo stesso anche per l'ellisse. Una retta ed un'ellisse possono essere secanti, tangenti o esterne.
Se conosciamo l'equazione della retta e dell'ellisse basta risolvere il sistema con le due equazioni e analizzare le soluzione per capire la posizione reciproca. Può capitare che non conosciamo, per esempio, l'equazione della retta, ma sappiamo che è tangente e passa per un punto esterno all'ellisse di cui conosciamo le coordinate. In questo caso possiamo applicare la formula di sdoppiamento e trovare l'equazione della retta tangente.
Tramite gli esercizi svolti capirai l'importanza del £$\Delta $£ dell'equazione risolvente il sistema fra retta ed ellisse nell'analisi delle posizioni reciproche fra retta ed ellisse.
Contenuti di questa lezione su: Ellisse e retta
Posizioni reciproche tra ellisse e retta
In quale posizione può trovarsi una retta rispetto ad un'ellisse? Una retta può essere:
- secante all'ellisse: ci sono due punti di intersezione;
- tangente all'ellisse: c'è un unico punto di intersezione;
- esterna all'ellisse: non ci sono punti di intersezione.
Possiamo analizzare le posizioni reciproche fra retta ed ellisse dalle soluzioni del sistema fra l'equazione dell'ellisse e della retta.
Il sistema può essere:
- Determinato con due soluzioni distinte (se £$\Delta > 0$£ nell'equazione risolvente) e quindi la retta è secante all'ellisse;
- Determinato con una sola soluzione (se £$\Delta = 0$£ nell'equazione risolvente), perciò la retta è tangente all'ellisse;
- Impossibile (se £$\Delta < 0$£ nell'equazione risolvente) , allora la retta è esterna all'ellisse.
Rette tangenti da un punto esterno
Dato un punto £$P$£ esterno all'ellisse, per £$P$£ passano due rette tangenti all'ellisse. Per trovare l'equazione di queste rette o i punti di tangenza, risolviamo il sistema fra una generica retta passante per £$P$£ (quindi di equazione £$y-y_P=m(x-x_P)$£) e l'equazione dell'ellisse, imponendo che il £$\Delta$£ dell'equazione risolvente sia nullo, e quindi che il sistema abbia una soluzione unica.
Formula di sdoppiamento
Per calcolare l'equazione di una retta tangente all'ellisse conoscendo l'equazione dell'ellisse e il punto £$P(x;y)$£ di tangenza, possiamo applicare la formula di sdoppiamento:
£$\frac{x \cdot x_0}{a^2}+ \frac{y \cdot y_0}{b^2}=1$£
Esercizi sulle posizioni reciproche tra ellisse e retta
Riesci a capire quale sia la posizione reciproca tra ellisse e retta?
Allenati con questi esercizi: potrebbero essere le domande che ti farà il prof all'interrogazione!
Sfida!
Testo della sfida
Soluzione alla sfida
Viene sparato un missile verso il tuo pianeta! Ma tu, grazie alla matematica, sai subito se ti devi preoccupare o meno.
Prova a risolvere la sfida sulle posizioni reciproche tra ellisse e retta!
