Prerequisiti per imparare le posizioni reciproche di ellisse e retta
I prerequisiti per imparare le posizioni reciproche di ellisse e retta sono:
Ellisse e retta
Scopri le posizioni reciproche di ellisse e retta, le rette tangenti da un punto esterno e infine la formula di sdoppiamento.
La posizione reciproca fra rette e curve è una parte importante della geometria analitica. Abbiamo visto le posizioni reciproche tra rette, tra rette e parabola e tra rette e circonferenza, facciamo lo stesso anche per l'ellisse. Una retta ed un'ellisse possono essere secanti, tangenti o esterne.
Se conosciamo l'equazione della retta e dell'ellisse basta risolvere il sistema con le due equazioni e analizzare le soluzione per capire la posizione reciproca. Può capitare che non conosciamo, per esempio, l'equazione della retta, ma sappiamo che è tangente e passa per un punto esterno all'ellisse di cui conosciamo le coordinate. In questo caso possiamo applicare la formula di sdoppiamento e trovare l'equazione della retta tangente.
Tramite gli esercizi svolti capirai l'importanza del £$\Delta $£ dell'equazione risolvente il sistema fra retta ed ellisse nell'analisi delle posizioni reciproche fra retta ed ellisse.
Contenuti di questa lezione su: Ellisse e retta
Posizioni reciproche tra ellisse e retta
In quale posizione può trovarsi una retta rispetto ad un'ellisse? Una retta può essere:
- secante all'ellisse: ci sono due punti di intersezione;
- tangente all'ellisse: c'è un unico punto di intersezione;
- esterna all'ellisse: non ci sono punti di intersezione.
Possiamo analizzare le posizioni reciproche fra retta ed ellisse dalle soluzioni del sistema fra l'equazione dell'ellisse e della retta.
Il sistema può essere:
- Determinato con due soluzioni distinte (se £$\Delta > 0$£ nell'equazione risolvente) e quindi la retta è secante all'ellisse;
- Determinato con una sola soluzione (se £$\Delta = 0$£ nell'equazione risolvente), perciò la retta è tangente all'ellisse;
- Impossibile (se £$\Delta < 0$£ nell'equazione risolvente) , allora la retta è esterna all'ellisse.
Rette tangenti da un punto esterno
Dato un punto £$P$£ esterno all'ellisse, per £$P$£ passano due rette tangenti all'ellisse. Per trovare l'equazione di queste rette o i punti di tangenza, risolviamo il sistema fra una generica retta passante per £$P$£ (quindi di equazione £$y-y_P=m(x-x_P)$£) e l'equazione dell'ellisse, imponendo che il £$\Delta$£ dell'equazione risolvente sia nullo, e quindi che il sistema abbia una soluzione unica.
Formula di sdoppiamento
Per calcolare l'equazione di una retta tangente all'ellisse conoscendo l'equazione dell'ellisse e il punto £$P(x;y)$£ di tangenza, possiamo applicare la formula di sdoppiamento:
£$\frac{x \cdot x_0}{a^2}+ \frac{y \cdot y_0}{b^2}=1$£
Esercizi sulle posizioni reciproche tra ellisse e retta
Riesci a capire quale sia la posizione reciproca tra ellisse e retta?
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Testo della sfida
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Esercizi svolti Ellisse e retta
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