Grafico ed eccentricità di un'ellisse

Data un'ellisse di equazione £$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$£ e un punto £$P(x;y)$£ dell'ellisse, allora:

• £$P(x;-y)$£ appartiene ancora all'ellisse ed è simmetrico di £$P$£ rispetto all'asse £$x$£;
• £$P(-x;y)$£ appartiene all'ellisse ed è simmetrico di £$P$£ rispetto all'asse £$y$£;
• £$P(-x;-y)$£ appartiene all'ellisse ed è simmetrico di £$P$£ rispetto all'origine degli assi £$O$£.

I vertici hanno coordinate £$A_1(a;0)$£, £$A_2(-a;0)$£, £$B_1(0;b)$£ e £$B_2(0;-b)$£. Sono i punti di intersezione dell'ellisse con gli assi e sono simmetrici (a due a due) rispetto all'origine.

Data un'ellisse di equazione £$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$£, tutti i suoi punti avranno:

• ascissa compresa fra £$-a$£ e £$a$£: £$-a \le x \le a$£
• ordinata compresa fra £$-b$£ e £$b$£: £$-b \le x \le b $£

Quindi graficamente, una ellisse è sempre contenuta in un rettangolo di dimensioni £$2a$£ e £$2b$£.

L'ellisse ha due assi di simmetria che uniscono i vertici opposti e simmetrici rispetto all'origine. L'asse maggiore è quello che contiene i fuochi, l'asse minore l'altro.

Per misurare quanto l'ellisse è schiacciata su uno degli assi c'è l'eccentricità. L'eccentricità £$e$£ è il rapporto tra la distanza focale £$2c$£ e l'asse maggiore: £$e=\dfrac{distanza \ focale}{asse \ maggiore}$£.
Quindi l'eccentricità è:

• £$e=\frac{2c}{2a}=\frac{c}{a}$£ se i fuochi sono sull'asse £$x$£
• £$e=\frac{2c}{2b}=\frac{c}{b}$£ se i fuochi sono sull'asse £$y$£

L'eccentricità è un numero sempre compreso fra £$0$£ e £$1$£, ma mai uguale a £$1$£: £$ 0 \le e < 1$£. L'ellisse con eccentricità nulla ha distanza focale nulla, e quindi è una circonferenza.
Se £$e=1$£ l'ellisse degenera in un segmento.

Hai visto come passare dall'equazione al grafico dell'ellisse.

Mettiti alla prova con gli esercizi!