Grafico ed eccentricità di un'ellisse

Scopri le simmetrie dell'ellisse e le sue intersezioni con gli assi. Impara che cosa è l'eccentricità e come si passa dall'equazione al grafico e viceversa.

L'ellisse può avere i fuochi sull'asse £$x$£ oppure sull'asse £$y$£. In ogni caso l'ellisse ha delle caratteristiche particolari, come la simmetria dei suoi punti rispetto agli assi cartesiani oppure rispetto all'origine. Dall'equazione si può capire come disegnare l'ellisse: è sempre contenuta in un rettangolo che ha le dimensioni uguali alla misura degli assi dell'ellisse. Inoltre l'eccentricità di un'ellisse è un numero che ci dice quanto un'ellisse è schiacciata sugli assi cartesiani: più è grande l'eccentricità, più l'ellisse è schiacciata su uno dei due assi, più è piccola, più somiglia ad un cerchio.

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Prerequisiti per imparare grafico ed eccentricità di un'ellisse

Il prerequisito per imparare il grafico e l'eccentricità di un'ellisse é:

Simmetrie e intersezioni con gli assi

Data un'ellisse di equazione £$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$£ e un punto £$P(x;y)$£ dell'ellisse, allora:

  • £$P(x;-y)$£ appartiene ancora all'ellisse ed è simmetrico di £$P$£ rispetto all'asse £$x$£;
  • £$P(-x;y)$£ appartiene all'ellisse ed è simmetrico di £$P$£ rispetto all'asse £$y$£;
  • £$P(-x;-y)$£ appartiene all'ellisse ed è simmetrico di £$P$£ rispetto all'origine degli assi £$O$£.

I vertici hanno coordinate £$A_1(a;0)$£, £$A_2(-a;0)$£, £$B_1(0;b)$£ e £$B_2(0;-b)$£. Sono i punti di intersezione dell'ellisse con gli assi e sono simmetrici (a due a due) rispetto all'origine.

Dall'equazione al grafico

Data un'ellisse di equazione £$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$£, tutti i suoi punti avranno:

  • ascissa compresa fra £$-a$£ e £$a$£: £$-a \le x \le a$£
  • ordinata compresa fra £$-b$£ e £$b$£: £$-b \le x \le b $£

Quindi graficamente, una ellisse è sempre contenuta in un rettangolo di dimensioni £$2a$£ e £$2b$£.

Eccentricità dell'ellisse

L'ellisse ha due assi di simmetria che uniscono i vertici opposti e simmetrici rispetto all'origine. L'asse maggiore è quello che contiene i fuochi, l'asse minore l'altro.

Per misurare quanto l'ellisse è schiacciata su uno degli assi c'è l'eccentricità. L'eccentricità £$e$£ è il rapporto tra la distanza focale £$2c$£ e l'asse maggiore: £$e=\dfrac{distanza \ focale}{asse \ maggiore}$£.
Quindi l'eccentricità è:

  • £$e=\frac{2c}{2a}=\frac{c}{a}$£ se i fuochi sono sull'asse £$x$£
  • £$e=\frac{2c}{2b}=\frac{c}{b}$£ se i fuochi sono sull'asse £$y$£

L'eccentricità è un numero sempre compreso fra £$0$£ e £$1$£, ma mai uguale a £$1$£: £$ 0 \le e < 1$£. L'ellisse con eccentricità nulla ha distanza focale nulla, e quindi è una circonferenza.
Se £$e=1$£ l'ellisse degenera in un segmento.

All'interrogazione potrebbero chiederti...

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Hai visto come passare dall'equazione al grafico dell'ellisse.

Mettiti alla prova con gli esercizi!

Sfida

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