La formula ridotta nelle equazioni di secondo grado
Preparatevi ad addentrarvi in un argomento di grande rilevanza nel campo della matematica: le equazioni di secondo grado. Il nostro obiettivo sarà quello di spiegare in maniera semplice e chiara come funziona la formula ridotta per le equazioni e come si distinguono le equazioni di secondo grado in termini di pure, spure e monomie. Potrebbe sembrare un’impresa complessa, ma con un po’ di pazienza e di pratica vedrai che non saranno un problema per te!
Le equazioni di secondo grado, l’uso della formula ridotta e la capacità di identificare se un’equazione è pura, spuria o monomia, possono sembrare argomenti impegnativi. Tuttavia, vi assicuriamo che, con un approccio accurato e un po’ di pratica, questi temi non saranno più un mistero per voi.
Dunque, se siete pronti ad immergervi in questo tema, continuate a leggere: è arrivato il momento di imparare cosa sono le formule ridotte e qual è la differenza tra le equazioni pure, spure e monomie!
- Cos'è la formula ridotta delle equazioni
- Cosa sono le equazioni di secondo grado pure, spure e monomie
- Formula ridotta nelle equazioni di secondo grado
- Equazioni pure, spurie e monomie
- Legge di annullamento del prodotto ed equazioni frazionarie
Cos’è la formula ridotta delle equazioni
La formula ridotta £$x_{1,2}=\frac{-\frac{b}{2}\pm\sqrt{(\frac{b}{2})^2-ac}}{a}$£, in matematica, si usa per risolvere le equazioni di secondo grado che hanno il coefficiente £$b$£ di £$x$£ pari!
La formula ridotta semplifica i calcoli e come per la classica formula risolutiva il valore della quantità sotto radice ti dice in anticipo quante soluzioni ha l’equazione di secondo grado che stai studiando: in questo caso non si chiama più delta ma delta quarti £$\frac{\Delta}{4}=\left(\frac{b}{2}\right)^2-ac$£
Cosa sono le equazioni di secondo grado pure, spure e monomie
Ci sono anche alcuni tipi di equazioni di secondo grado che possono essere risolte senza fare troppi calcoli, cioè senza usare la formula risolutiva. Sono le equazioni di secondo grado incomplete cioè pure, spurie e monomie!
Le equazioni di secondo grado pure sono del tipo £$ax^2+c=0$£ e hanno quindi due soluzioni £$x_{1,2}=\pm \sqrt{-\frac{c}{a}}$£ se £$-\frac{c}{a}>0$£ o nessuna soluzione se £$-\frac{c}{a}<0$£
Le equazioni di secondo grado spurie sono quelle del tipo £$ax^2+bx=0$£. Raccogliendo la £$x$£ diventano £$x(ax+b)=0$£ e per l’annullamento del prodotto abbiamo come soluzione £$x=0$£ oppure £$x=-\frac{b}{a}$£
Le equazioni di secondo grado monomie sono del tipo £$ax^2=0$£ che hanno come unica soluzione £$x=0$£ (cioè sono due soluzioni coincidenti).
Allenati a risolvere le equazioni di secondo grado con la formula ridotta con i video dove troverai un sacco di esercizi svolti!
Formula ridotta nelle equazioni di secondo grado
Come usare la formula ridotta
Dimostrazione della formula
Troviamo un metodo per fare i conti più velocemente: quando nell’equazione di secondo grado £$ax^2+bx+c=0$£ il coefficiente £$b$£ di £$x$£ è un numero pari possiamo usare una formula risolutiva ridotta. In questo modo semplifichiamo i calcoli! La formula ridotta è £$x_{1,2}=\frac{-\frac{b}{2}\pm\sqrt{\left(-\frac{b}{2}\right)^2-ac}}{a}$£
Nei video trovi due esercizi svolti sulla risoluzione di equazioni di secondo grado con la formula ridotta.
Equazioni pure, spurie e monomie
Equazioni pure: esercizio svolto
Equazioni spurie: esercizio svolto
Equazioni monomie: esercizio svolto
Devi sempre applicare la formula risolutiva delle equazioni di secondo grado? No!. Esistono delle particolari equazioni di secondo grado per cui non serve applicare la formula risolutiva per risolverle! Sono tre tipi di equazioni di secondo grado chiamate incomplete:
- equazioni di secondo grado pure: sono del tipo £$ax^2+c=0$£ che equivale a £$x^2=-\frac{c}{a}$£ e quindi le sue soluzioni sono £$x_{1,2}=\pm\sqrt{-\frac{c}{a}}$£: se £$-\frac{c}{a} > 0$£ allora ci sono due soluzioni, se invece £$-\frac{c}{a} < 0$£ l’equazione è impossibile (non ci sono soluzioni reali)
- equazioni di secondo grado spurie: hanno la forma £$ax^2+bx=0$£. Per risolverle, raccogliamo la £$x$£ e abbiamo £$x(ax+b)=0$£. Il primo membro si annulla se £$x=0$£ oppure se £$x=-\frac{b}{a}$£. In questo caso abbiamo sempre due soluzioni!
- equazioni di secondo grado monomie: sono del tipo £$ax^2=0$£ che ha due soluzioni coincidenti £$x_{1,2}=0$£
Per questi tipi di equazioni di secondo grado, il compito è più facile. Ovviamente puoi sempre usare la formula risolutiva delle equazioni di secondo grado, ma fai più conti. Nei video trovi un esercizio svolto per ciascun tipo di equazione di secondo grado.
Legge di annullamento del prodotto ed equazioni frazionarie
Un principio matematico molto importante è la legge dell’annullamento del prodotto. Questa regola è fondamentale per la risoluzione di molte equazioni, tra cui le equazioni frazionarie.
La legge dell’annullamento del prodotto afferma che se abbiamo un prodotto di due o più fattori che è uguale a zero, allora almeno uno dei fattori deve essere zero. In formula, se `ab = 0`, allora `a = 0` oppure `b = 0`.
Questa legge si applica anche alle equazioni frazionarie, che sono equazioni in cui l’incognita compare nel denominatore di una o più frazioni. Per risolvere queste equazioni, spesso si moltiplicano entrambi i membri dell’equazione per il denominatore per liberarsi delle frazioni, e poi si applica la legge dell’annullamento del prodotto.
Esercizio sulla legge di annullamento del prodotto
Consideriamo ad esempio l’equazione frazionaria £$\frac{x}{3} – 2 = 0 $£.
Per risolvere questa equazione, iniziamo moltiplicando entrambi i membri per 3, ottenendo £$x – 6 = 0$£.
Applichiamo poi la legge dell’annullamento del prodotto: poiché £$x – 6= 0$£, allora `x` deve essere uguale a 6, perché possiamo spostare il 6 dall’altro lato dell’equazione e ottenere £$x = 6$£.
Speriamo che questo esercizio vi aiuti a capire meglio la legge dell’annullamento del prodotto e come essa si applica alle equazioni frazionarie. Ricordate: la pratica è la chiave per padroneggiare qualsiasi concetto matematico!