Parabola e soluzioni delle equazioni di secondo grado

Qual è il legame tra la parabola e lo studio di una equazione di II grado?
In generale un'equazione di II grado è scritta nella forma: £$ ax^2 + bx + c = 0$£
Sappiamo anche che una parabola è descritta dall'equazione: £$ y = ax^2 + bx + c $£
Allora risolvere un'equazione di II grado equivale a trovare le intersezioni dell'asse £$x$£ con la parabola "associata" all'equazione.
Attenzione! Visualizzando la parabola associata ad un'equazione, risulta più facile capire quante sono, se esistono, le soluzioni di un'equazione di II grado.
Sappiamo che un'equazione di II grado ha soluzioni: £$ x_{1,2}=\left( \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} \right)$£

• Se £$ \Delta < 0$£ l'equazione è impossibile perché, per trovare le soluzioni, dovremmo calcolare la radice quadrata di un numero negativo. La parabola non ha intersezioni con l'asse £$x$£, quindi è sempre:
  • sopra l'asse £$x$£, se £$a>0$£;
  • sotto l'asse £$x$£, se £$a<0$£.
• Se £$\Delta = 0 $£ l'equazione ha 2 soluzioni coincidenti, £$x_1 = x_2$£. La parabola interseca l'asse £$x$£ solo nel vertice, per il resto è sempre:
  • sopra l'asse £$x$£, se £$a>0$£;
  • sotto l'asse £$x$£, se £$a<0$£.
• Se £$ \Delta > 0 $£ l'equazione ha 2 soluzioni £$x_1 ≠ x_2$£. La parabola interseca l'asse £$x$£ in £$x_1$£ e in £$x_2$£ e, a seconda dei casi, può essere:
  • se £$a>0$£: sotto l'asse £$x$£ nell'intervallo tra £$x_1$£ e £$x_2$£ e altrimenti sopra
  • se £$a<0$£: sopra l'asse £$x$£ nell'intervallo tra £$x_1$£ e £$x_2$£ e altrimenti sotto

Le equazioni di secondo grado e la parabola sono importantissime. Per questo, il prof ci tiene molto.
Quale domande potrebbe farti all'interrogazione? Scoprilo con questo video e prova a risolvere gli esercizi.