Introduzione alle equazioni

Le equazioni sono importantissime in matematica. Infatti servono a trovare il valore giusto (o i valori giusti) per rendere le uguaglianze delle identità. Scopri come riconoscere le equazioni, cioè il tipo di equazione e il grado di un’equazione.

2019-02-15 20:47:29

Cosa succede se abbiamo un’uguaglianza che non è un’identità, cioè se non è verificata per ogni valore delle variabili? Abbiamo un’equazione, che sono molto importanti in matematica. In questo caso, possiamo cercare, se esiste, il valore dell’incognita in modo che l’uguaglianza diventi un’identità. Se questo valore esiste, abbiamo trovato la soluzione dell’equazione.

Un’equazione non sempre ha soluzione, cioè non è sempre possibile trovare il valore dell’incognita che fa diventare l’equazione un’identità. Può succedere che questo valore non esista, e in quel caso l’equazione è impossibile. Se invece le due espressioni a sinistra e a destra dell’uguale sono appunto uguali per ogni valore dell’incognita, abbiamo un’identità. Quindi le soluzioni sono infinite e non possiamo determinarne una in particolare. Allora diciamo che è indeterminata. Qui trovi video lezioni con esempi spiegati ed esercizi svolti sulle equazioni.

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Prerequisiti per imparare le equazioni

I prerequisiti per imparare le equazioni sono:

Concetto di equazione

Un'equazione (che viene dal latino aequare che significa rendere uguali) è un'uguaglianza tra due espressioni letterali. A differenza delle identità però, l'uguaglianza in un'equazione non è sempre vera. L’obiettivo è cercare il valore della variabile (o delle variabili) che rende vera l’uguaglianza.

Quindi, un’uguaglianza fra due espressioni è un'equazione quando cerchiamo i valori delle lettere che rendono uguali le espressioni a destra e sinistra dell'uguale.

Possiamo immaginare un'equazione come una bilancia a due piatti in cui l'ago della bilancia è l'uguale. I due piatti saranno in equilibrio, e quindi alla stessa altezza, solo quando la quantità nel piatto a sinistra è esattamente uguale alla quantità nel piatto di destra. Quindi l’equilibrio è la chiave delle equazioni. Qualsiasi cosa tu faccia ricordati sempre che non bisogna mai perdere l’equilibrio!

Forma normale e riduzione

£$3x+x=12$£ è una equazione ma non è ridotta a forma normale.

£$4x=12$£ è ridotta a forma normale, £$ x=\frac{12}{4}$£, cioè £$x=3$£ è la sua soluzione.

£$3x+1=12+4x$£ non è ridotta a forma normale. Come fai a ridurla a forma normale? Devi portare tutti i termini con la £$ x $£ da una parte dell’uguale e i coefficienti, cioè i numeri, dall'altra cambiando di segno: £$3x - 4x=12-1$£

Poi somma i termini simili, e quindi ottieni £$ -x=11$£

Ed ecco fatto. Questa è la stessa equazione ma questa volta è ridotta a forma normale.

Quindi un'equazione è ridotta a forma normale quando è scritta con tutte le incognite da una parte dell'uguale e tutti i coefficienti dall'altra.

Grado di un'equazione

Il grado dell'equazione (ridotta a forma normale) è il massimo esponente con cui compare l'incognita. Quindi per calcolare il grado di un’equazione bisogna:

  1. ridurla a forma normale: somma tutti i termini (monomi) simili;
  2. controllare il grado (cioè l'esponente) di ogni incognita;
  3. l'esponente massimo (il più grande) è il grado dell’intera equazione.

Ad esempio, il grado dell'equazione £$ 3x^2+ 6x+1= 4x^3$£ è £$3$£ perché è l'esponente più grande della £$x$£. Il grado dell'equazione £$2x^5-3-2x^5+x=0$£ può sembrare £$5$£ ma l'equazione non è ridotta in forma normale. Infatti il termine di quinto grado si annulla e rimane l'equazione £$-3+x=0$£ quindi il grado è £$1$£

Come capire se un'equazione è intera o fratta, numerica o letterale

Puoi classificare le equazioni partendo dalle incognite, oppure dai coefficienti.
Considerando le incognite, un'equazione può essere intera o fratta:

  • intera: le incognite sono solo al numeratore. £$ 3x=\frac{9}{2} $£ e £$3x=9$£ sono equazioni intere
  • fratta: c'è almeno un'incognita al denominatore £$\frac{3}{x-1}=9$£ e £$ \frac{2}{3}+\frac{1}{x}=9$£

Considerando i coefficienti, un'equazione può essere letterale o numerica:

  • numerica: tutti i coefficienti, delle incognite e non, sono dei numeri £$3x=9$£ e £$\frac{3}{x-1}=9$£ sono equazioni numeriche;
  • letterale: c'è almeno un coefficiente che è una lettera.

£$3ax=9$£ e £$\frac{3a}{x}=9x$£ sono equazioni letterali. Nelle equazioni letterali, quindi ci sono due "tipi" di lettere, le incognite, che di solito sono £$x$£, £$y$£, £$z$£ e che sono quelle che devi trovare affinché l'uguaglianza sia verificata, ed i parametri, che di solito sono £$a$£, £$b$£ o £$k$£ e che dovrai trattare come dei numeri nella risoluzione dell'equazione, anche se non li conosci di preciso.

Equazioni determinate, indeterminate, impossibili

In un'equazione, i valori che rendono vera l'uguaglianza si chiamano soluzioni dell'equazione . Puoi dire che questi valori "soddisfano" o "verificano" l'equazione perché sostituiti all'incognita, rendono l'uguaglianza sempre vera.

A seconda del numero di soluzioni, l'equazione è:

  • determinata: se ha un numero finito di soluzioni. C'è almeno un valore che, sostituito alla o alle incognite, rende vera l'uguaglianza;
  • indeterminata: se ha un numero infinito di soluzioni. In questo caso l'equazione è anche un'identità;
  • impossibile: se non ha soluzioni. Quindi non c'è nessun valore che sostituito all'incognita renda vera l'uguaglianza.

Il numero di soluzioni di un'equazione dipende dall'insieme numerico in cui cerchi le soluzioni. Per esempio £$2x=3$£, che ha come soluzione £$x=\frac{3}{2}$£ è un'equazione determinata nell'insieme dei reali £$\mathbb{R}$£ o in quello dei razionali £$\mathbb{Q}$£, ma è un'equazione impossibile nell'insieme dei naturali £$\mathbb{N}$£, dove non esistono le frazioni! Di solito cercherai le soluzioni nell'insieme dei numeri reali.

Sfida sull'introduzione alle equazioni

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