Cos'è il concetto di identità in matematica
Avete mai sentito parlare del concetto di identità in matematica e del suo ruolo nelle equazioni? Bene, è il momento di svelare questo mistero: nella matematica, l’identità assume un significato specifico, legato a concetti chiave come le condizioni di esistenza.
In questo articolo, ci tufferemo in questo argomento, esplorando cosa significa l’identità in matematica e perché è fondamentale per comprendere e risolvere le equazioni!
- Cos'è l'identità in matematica
- Concetto di identità in matematica
- Condizioni di esistenza dell'identità in matematica
- Sfida sulle identità!
Cos’è l’identità in matematica
Le identità servono ad introdurre le equazioni. Sono il primo passo verso le equazioni.
Un’identità ha tre ingredienti: due espressioni che possono essere numeri, monomi, polinomi oppure frazioni algebriche e il simbolo £$=$£ che sta per "uguale". L’uguale sta sempre in mezzo alle due espressioni.
Ma cos’è un’identità? È un’uguaglianza sempre vera. Cioè è vera per ogni valore che possiamo dare alle variabili (cioè le lettere) che sono nelle espressioni.
Ad esempio, £$ 3a=5a-2a $£ è una identità: infatti l’espressione a destra dell’uguale è £$5a-3a$£ che è proprio £$3a$£. Quindi £$3a=3a$£ è un’uguaglianza vera per ogni valore di £$a$£. Allora abbiamo un’identità.
Attenzione però: se le variabili sono al denominatore, è possibile che per alcuni valori della variabile, il denominatore sia [iol_placeholder type="formula" engine="katex" display="inline"/] ma sai che non è possibile dividere per [iol_placeholder type="formula" engine="katex" display="inline"/]. Quindi devi mettere le condizioni di esistenza per trovare i valori che annullano il denominatore. Per questi valori sicuramente non avrai un’identità perché rendono impossibili le espressioni.
Concetto di identità in matematica
Allora, cosa intendiamo quando parliamo di ‘identità’ in matematica? In termini generali, un’identità matematica è un’uguaglianza che risulta vera per tutti i valori delle variabili in essa presenti. Questo è in contrasto con un’equazione, che è vera solo per determinati valori delle variabili. Ecco un esempio semplice: l’identità £$2x = x + x$£ è vera per tutti i valori di x, mentre l’equazione £$2x = 1$£ è vera solo per £$x = 0,5$£.
Ma perché l’identità è così importante? Perché aiuta a semplificare le equazioni e a rendere più facile la risoluzione dei problemi. Le identità sono strumenti potenti che permettono di semplificare espressioni complesse e di risolvere equazioni che altrimenti sarebbero molto difficili. Inoltre, le identità forniscono una visione chiara della struttura di una matematica, aiutando a svelare le relazioni fondamentali che legano i numeri e le variabili.
£$3a=5a-2a$£ è un’identità.
Anche £$b=\frac{1}{2}b+\frac{1}{2}b$£ è una identità.
£$3a=2b$£ non è un’identità.
Un’identità è semplicemente un’uguaglianza sempre vera tra due espressioni.
Le espressioni possono contenere lettere e numeri. L’uguaglianza è un’identità se è valida per qualsiasi valore diamo alle lettere.
Come si fa a capire se una uguaglianza è un’identità? Si fanno i calcoli per vedere se quello che c’è prima dell’uguale è uguale a quello che c’è dopo.
Condizioni di esistenza dell’identità in matematica
Ma cos’è la condizione di esistenza in matematica? Questo termine si riferisce alle condizioni che una variabile o un set di variabili devono soddisfare affinché un’equazione o un’identità sia definita. Ad esempio, considerate l’equazione £$x/y = z$£. Questa equazione è indefinita quando £$y = 0$£, quindi la condizione di esistenza in questo caso è che y non può essere zero.
Abbiamo visto che £$5a=3a+2a$£ è una identità.
Anche £$5a+\frac{2a}{b}=5a+\frac{2a}{b}$£ è un’identità?
L’espressione a sinistra è uguale a quella che c’è a destra.
Però £$b$£ è al denominatore della frazione.
Cosa succede se £$b$£ vale [iol_placeholder type="formula" engine="katex" display="inline"/]? Avremmo una frazione impossibile. Quindi anche la nostra uguaglianza non sarebbe più un’identità.
Quindi per essere un’identità non ci devono essere espressioni che non hanno senso, cioè – per esempio – non può contenere divisioni per zero.
Sfida sulle identità!
Sfida
Soluzione alla sfida
Prova a risolvere la sfida sul concetto di identità! Come fai a decidere che cosa fare il sabato sera? Devi impostare un’identità?
Se proprio non riesci a risolvere la sfida, guarda tutti i video della lezione e gli esercizi svolti. Stai sereno! Nel secondo video puoi vedere la spiegazione e la risoluzione completa!