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Le condizioni per trovare l'equazione di un'iperbole

Agostino Sapienza

Agostino Sapienza

INSEGNANTE DI MATEMATICA

Sono nato a Reggio Calabria il 07/10/85. Mi sono diplomato nel 2005 all'Istituto Magistrale Statale Tommaso Gulli. Ho conseguito la laurea triennale in Relazioni Internazionali a Messina e in Economia Internazionale a Padova. Dopo un pò di anni negli studi commercialisti sono stato chiamato per una supplenza covid nella classe di insegnamento A47. Ho poi conseguito l'abilitazione a Trieste nel sostegno e sono entrato di ruolo nel 2023

Impara quali sono le condizioni per trovare un’iperbole che passa per due punti, oppure conosci un punto e la sua eccentricità.

Trovare l’equazione di una conica è facile con il numero giusto di condizioni! Ma qual è il numero giusto di condizioni per trovare l’equazione di un’ellisse, di una retta, di una parabola, di una circonferenza o di un’iperbole? Il numero di condizioni dipende dal numero di parametri che ci sono nell’equazione della conica.

Per trovare l’equazione di un’iperbole servono due condizioni, perché due sono i parametri. Puoi combinare alcune caratteristiche, un punto che appartiene all’iperbole, un punto conosciuto come il fuoco o un vertice, l’eccentricità: vediamole insieme.

Trovare l’equazione dell’iperbole dati un punto e un asintoto

Condizioni per trovare l'equazione di un'iperbole dati punti e rette - Galleria

Potrebbe capitarci di dover determinare l’equazione dell’iperbole conosciuti un punto (vertice, fuoco, punto appartenente all’iperbole) e un asintoto dell’iperbole.

Conoscere un asintoto significa conoscerli tutti e due perché possiamo ottenerne uno dall’altro cambiando di segno il coefficiente angolare!

Trovare l’equazione dell’iperbole dati un punto e una tangente

Condizioni per trovare l'equazione di un'iperbole dati punti e rette - Galleria

Se vogliamo trovare l’equazione di un’iperbole conosciuto un punto e l’equazione di una sua tangente dobbiamo prima sfruttare la condizione data dal punto e poi imporre la condizione di tangenza, cioè imporre che sia uguale a zero il delta dell’equazione risolvente il sistema retta-iperbole.

Trovare l’equazione dell’iperbole dati due punti

Condizioni per trovare l'equazione di un'iperbole dati punti e eccentricità - Galleria

L’equazione dell’iperbole ha la forma £$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=\pm 1$£. Ci sono 2 parametri £$a^2$£ e £$b^2$£, quindi, per determinarla univocamente (cioè senza ambiguità), servono due condizioni distinte e indipendenti.

Puoi trovare due di queste condizioni combinando:

  • le formule per trovare fuoco e vertici;
  • l’appartenenza di un punto all’iperbole, cioè, dato un punto per il quale passa l’iperbole, le sue coordinate devono rendere l’equazione della curva un’identità.

Trovare l’equazione dell’iperbole dati un punto e l’eccentricità

Condizioni per trovare l'equazione di un'iperbole dati punti e eccentricità - Galleria

Altre due condizioni per trovare l’iperbole sono le coordinate di un punto (dell’iperbole stessa oppure di un vertice reale o non reale) e la sua eccentricità.

Che cos’è l’eccentricità di un’iperbole? Si tratta di un parametro che descrive la forma dell’iperbole e rappresenta la distanza tra il centro e uno dei fuochi rispetto alla distanza tra il centro e il vertice. In altre parole, l’eccentricità misura quanto l’iperbole si discosti da una circonferenza.

Per un’iperbole, l’eccentricità è sempre maggiore di 1. Maggiore è l’eccentricità, maggiore è la “stretta” dell’iperbole, e viceversa. In termini geometrici, l’eccentricità determina quanto i rami dell’iperbole si allontanino dai suoi asintoti.

Per poter trovare l’equazione dell’iperbole senza ambiguità dobbiamo sapere anche dove si trovano i fuochi per scegliere la giusta equazione canonica.

Sfida: le condizioni per trovare l’iperbole

Testo e soluzione:

Condizioni per trovare l'equazione di un'iperbole dati punti e eccentricità - Galleria

Come andare sull’half-pipe quando ce ne sono due? Riuscirai a non cadere? Con un po’ di matematica, si risolve tutto!

Esercizi per trovare l’equazione dell’iperbole

Ora che hai visto quali sono le condizioni per trovare l’equazione di un’iperbole, prova a risolvere questi esercizi. Così arriverai pronto per l’interrogazione!