Iperbole equilatera: definizione e formule

Agostino Sapienza

INSEGNANTE DI MATEMATICA

Sono nato a Reggio Calabria il 07/10/85. Mi sono diplomato nel 2005 all'Istituto Magistrale Statale Tommaso Gulli. Ho conseguito la laurea triennale in Relazioni Internazionali a Messina e in Economia Internazionale a Padova. Dopo un pò di anni negli studi commercialisti sono stato chiamato per una supplenza covid nella classe di insegnamento A47. Ho poi conseguito l'abilitazione a Trieste nel sostegno e sono entrato di ruolo nel 2023

L’iperbole è una particolare conica. Il suo grafico è composto da due rami simmetrici contenuti dentro gli asintoti, rette a cui la figura si avvicina senza toccarle mai.

Un particolare tipo di iperbole è quella equilatera. Nell’equazione dell’iperbole equilatera i due parametri sono uguali, cioè i due assi hanno la stessa lunghezza. Tra le iperboli equilatere ci sono quelle riferite ai propri asintoti, che hanno come asintoti gli assi cartesiani.

Scopri, tramite gli esercizi svolti, i punti particolari e le caratteristiche delle iperboli equilatere! I fuochi, i vertici, gli asintoti, gli assi hanno delle formule più semplici ma puoi ottenerle da quelle dell’iperbole generica.

Iperbole equilatera riferita agli assi
Iperbole equilatera riferita agli asintoti
Rotazione di £$$45°$$£
Esercizi sull'iperbole
Sfida su iperbole equilatera

Iperbole equilatera riferita agli assi

Un’iperbole è equilatera quando nell’equazione canonica £$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=\pm 1$£ i due parametri sono uguali: £$a^2=b^2$£, cioè quando l’asse trasverso e l’asse non trasverso hanno la stessa lunghezza.

Abbiamo scritto l’equazione con il £$\pm1$£ perché la definizione di iperbole equilatera è valida sia per l’iperbole con fuochi sull’asse £$x$£ che per l’iperbole con i fuochi sull’asse £$y$£.
L’equazione dell’iperbole equilatera diventa:

£$x^2-y^2=a^2$£ se i fuochi sono sull’asse delle ascisse;
£$x^2-y^2=-a^2$£ se i fuochi sono sull’asse delle ordinate.

Le caratteristiche delle iperboli equilatere sono molto semplici:

la coordinata dei fuochi si trova con la stessa formula che abbiamo usato per le iperboli qualsiasi: £$c^2=a^2+b^2 $£, cioè £$c=\pm a \cdot \sqrt{2}$£
gli asintoti sono le bisettrici dei quadranti, cioè le rette £$y=x$£ e £$y=-x$£
l’eccentricità ha un valore fisso pari a £$\sqrt{2}$£. La formula dell’eccentricità permette di dimostrare che £$e=\sqrt{2}$£ per le iperboli equilatere.

Iperbole equilatera riferita agli asintoti

L’iperbole equilatera riferita ai propri asintoti è un’iperbole equilatera considerata in un nuovo sistema di riferimento in cui gli assi cartesiani sono i suoi asintoti. Gli asintoti di un’iperbole equilatera sono le bisettrici dei quadranti e sono fra loro perpendicolari, quindi possiamo usarle come assi cartesiani per un nuovo sistema di riferimento.

L’iperbole equilatera riferita ai propri asintoti ha equazione £$xy=\pm k$£, dove £$k = \frac{a^2}{2}$£. Al variare del parametro £$k$£ varia la posizione dell’iperbole nel piano cartesiano:

se £$k > 0$£ i due rami stanno nel I e nel III quadrante;
se [iol_placeholder type="formula" engine="katex" display="inline"]k

Gli elementi principali dell’iperbole riferita ai propri asintoti:

gli asintoti sono gli assi cartesiani;
gli assi di simmetria sono le bisettrici dei quadranti. Quindi i fuochi e i vertici dell’iperbole equilatera riferita ai propri asintoti sono punti delle bisettrici;
i vertici hanno coordinate:
- se £$k > 0$£: £$A_1 \left(-\sqrt{k}; -\sqrt{k} \right)$£, £$A_2 \left(\sqrt{k}; \sqrt{k} \right)$£
- se [iol_placeholder type="formula" engine="katex" display="inline"]k
le coordinate dei fuochi sono la metà della distanza focale £$c=2 \sqrt{|k|}$£, quindi le coordinate dei fuochi dell’iperbole equilatera riferita ai propri asintoti sono:
- se £$k > 0$£: £$F_1 \left(-\sqrt{2k}; -\sqrt{2k} \right)$£, £$F_2 \left(\sqrt{2k}; \sqrt{2k} \right)$£
- se [iol_placeholder type="formula" engine="katex" display="inline"]k
l’asse trasverso ha lunghezza £$2a=2\sqrt{2|k|}$£