Iperbole traslata e funzione omografica: definizione

Cos'è la funzione omografica? Si tratta di un'iperbole traslata.

Scopri come scrivere l'equazione dell'iperbole traslata e allenati con tanti esercizi sulla funzione omografica!

La funzione omografica è tra le ultime coniche che si studiano in geometria analitica. Che cos'è? La funzione omografica non è altro che una iperbole riferita ai propri asintoti traslata di un dato vettore.

Cosa si ottiene traslando un'iperbole? Applicando una traslazione a un'iperbole qualsiasi otteniamo l'iperbole traslata, con le stesse caratteristiche dell'iperbole di partenza: la traslazione infatti è un'isometria e conserva le distanze.

L'equazione dell'iperbole traslata si può scrivere sia nella forma estesa che in quella canonica: per passare dalla forma canonica a quella estesa basta svolgere i calcoli; scopri invece come funziona il metodo del completamento del quadrato per passare dalla forma estesa a quella canonica!

Traslando un'iperbole riferita ai propri asintoti otteniamo una funzione omografica, che ha gli asintoti paralleli agli assi cartesiani. Può anche diventare una retta, obliqua oppure orizzontale a seconda del valore dei suoi coefficienti. 

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Prerequisiti per imparare l'iperbole traslata e la funzione omografica

I prerequisiti per imparare l'iperbole traslata e la funzione omografica sono:

Iperbole traslata

Traslando un'iperbole di un vettore £$ \overrightarrow{v} (p;q)$£ otteniamo una nuova iperbole, che ha le stesse caratteristiche di quella di partenza perché la traslazione è un'isometria, quindi conserva le caratteristiche principali e le distanze.

I fuochi, i vertici e gli asintoti della nuova iperbole sono i corrispondenti di quelli iniziali nella traslazione di vettore £$ \overrightarrow{v} (p;q)$£.

L'equazione di un'iperbole traslata di un vettore £$ \overrightarrow{v} (p;q)$£ è: £$\frac{(x-p)^2}{a^2}-\frac{(y-q)^2}{b^2}=1$£

Abbiamo considerato l'iperbole con i fuochi sull'asse £$x$£, per quella con i fuochi sull'asse £$y$£ cambia solo il coefficiente al secondo membro, ma i passaggi da fare sono uguali!

Se sviluppiamo la formula, otteniamo l'equazione dell'iperbole traslata con centro in £$O(p;q)$£: £$Ax^2 + By^2 +Cx+Dy+E=0$£

La formula per trovare il centro dell'iperbole traslata è: £$C \left( -\frac{C}{2A}; -\frac{D}{2B} \right)$£.

Questa equazione è simile a quella dell'ellisse traslata, l'unica cosa che cambia sono i coefficienti £$A$£ e £$B$£ che nell'ellisse sono concordi.

Il metodo di completamento del quadrato

Vediamo ora come passare dall'equazione dell'iperbole traslata scritta in forma estesa, a quella canonica. Il procedimento che applichiamo si chiama completamento del quadrato.

In cosa consiste il metodo del completamento del quadrato? Partendo dall'equazione dell'iperbole traslata £$Ax^2 + By^2 +Cx+Dy+E=0$£ aggiungiamo e togliamo opportunamente dei termini al fine di ottenere dei quadrati che, sfruttando la formula del quadrato di un binomio (che abbiamo studiato nei prodotti notevoli: £$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$£), possiamo raccogliere ottenendo l'equazione dell'iperbole traslata scritta in forma canonica: £$\frac{(x-p)^2}{a^2}-\frac{(y-q)^2}{b^2}=1$£

Perché conviene passare dalla forma estesa a quella canonica dell'equazione di un'iperbole traslata? Nell'equazione in forma canonica è immediato riconoscere il vettore di traslazione.

Funzione omografica

Cosa succede se applichiamo una traslazione ad un'iperbole equilatera riferita ai propri asintoti? Otteniamo una funzione omografica!

L'equazione della funzione omografica, e quindi di un'iperbole equilatera riferita ai propri asintoti traslata, si ottiene applicando le formule della traslazione all'equazione £$xy=k$£.
Le caratteristiche della funzione omografica sono:

  • ha equazione: £$y=\frac{ax+b}{cx+d}$£ con £$c \ne 0 $£ e £$ad-bc \ne 0$£
  • ha gli asintoti paralleli agli assi cartesiani
  • il centro di simmetria ha coordinate £$C \left(-\frac{d}{c}; \frac{a}{c} \right)$£
  • le equazioni degli asintoti sono: £$x=-\frac{d}{c}$£ e £$y=\frac{a}{c}$£
  • se £$c=0$£ e £$d \ne 0$£ la funzione omograficadiventa una retta
  • se £$ad-bc=0$£ la funzione omografica è una retta orizzontale di equazione £$y=\frac{a}{c}$£

Esercizi sull'iperbole traslata

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Ecco gli esercizi sull'iperbole traslata e sulla funzione omografica per prepararti all'interrogazione o alla verifica!

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