Modulo e argomento, forma trigonometrica e forma esponenziale di un numero complesso

Scopri cos'è il modulo e l'argomento di un numero complesso. Impara come si scrivono i numeri complessi in forma trigonometrica e in forma esponenziale.

Appunti

Hai visto che i numeri complessi si possono esprimere nella forma algebrica £$a+ib$£. Questa però non è l'unico modo che hai per scrivere un numero complesso. Ce ne sono altri due:

  • forma trigonometrica £$\rho(cos\ \theta +isen\, \theta)$£
  • forma esponenziale £$\rho e^{i\theta}$£

Per trovare la forma trigonometrica dovrai trovare

  • il modulo £$\rho$£ del numero complesso £$a+ib$£ con la formula £$\rho=\sqrt{a^2+b^2} $£. Il modulo indica la distanza del punto £$(a;b)$£ dall'origine del piano di Gauss
  • l'argomento £$\theta$£ (teta) del numero complesso £$a+ib$£ con la formula £$tg\theta=\frac{b}{a} $£. L'argomento indica, essendo un angolo, la distanza del segmento, congiungente £$(a;b)$£ con l'origine, dall'asse delle ascisse.

La forma esponenziale è una diretta conseguenza di quella trigonometrica poiché si definisce £$e^{i\theta}= cos\, \theta+isen\, \theta$£.

Vedrai poi come fare le operazioni di somma, differenza, prodotto, quoziente e estrazione di radice con i numeri complessi scritti in forma trigonometrica o esponenziale.

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Prerequisiti per imparare forma trigonometrica e forma esponenziale di un numero complesso

I prerequisiti per imparare modulo e argomento, forma trigonometrica e forma esponenziale di un numero complesso sono:

Forma trigonometrica di un numero complesso

Modulo e argomento di un numero complesso

Ogni numero complesso può essere rappresentato graficamente nel piano di Gauss. Ci viene subito in mente una cosa: possiamo identificare ciascun numero complesso anche in base alla distanza dall'origine e all'angolo che forma il segmento che unisce l'origine e il numero con l'asse delle ascisse.

La distanza dall'origine viene chiama modulo del numero complesso, mentre l'angolo è l'argomento del numero complesso. Così abbiamo un nuovo modo per rappresentare i numeri complessi che si chiama forma trigonometrica. Se £$z=a+ib$£ è il nostro numero complesso scritto in forma algebrica, avremo:

  • £$ d(z,O)=\sqrt{a^2+b^2}=\rho $£ è il modulo
  • se £$\theta $£ è l'argomento, abbiamo che £$tg\,\theta=\frac{b}{a}$£

e il nostro numero complesso in forma trigonometrica sarà £$z=\rho(cos\,\theta+isen\,\theta)$£

Forma esponenziale di un numero complesso

Ogni numero complesso può essere rappresentato anche in forma esponenziale.

Se £$z=\rho(cos\,\theta+isen\,\theta)$£ è il numero complesso, vale l'uguaglianza

$$\rho(cos\,\theta+isen\,\theta)=\rho e^{i \theta}$$

dove £$e$£ è il numero di Nepero.

Interrogazione su forma trigonometrica e esponenziale dei numeri complessi

Ecco alcuni esercizi per allenarti con la forma trigonometrica e quella esponenziale dei numeri complessi. Sei capace di passare da una forma all'altra senza fare errori? Mettiti alla prova!

Un po' di storia...

Il matematico francese Abraham De Moivre (1667-1754) introduce la forma trigonometrica dei numeri complessi cercando un metodo generale per estrarre la radice cubica da un numero complesso £$a+ib$£.

Sai come va a finire questa storia? Leggi qui e lo scoprirai...