Addizione e sottrazione in N e proprietà per le Superiori

I numeri naturali sono i più intuitivi, quelli che impari da bambino. È questo il motivo per cui è difficile darne una definizione rigorosa.

L’insieme dei numeri naturali £$ \mathbb{N} $£ è l’insieme di tutti i numeri maggiori o uguali a zero: £$\mathbb{N}= \{ 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; …\}$£ Nell’insieme dei numeri naturali, quindi, ci sono tutti i numeri interi e positivi più lo zero, nessun numero negativo e nessuna frazione.

E lo £$0$£? Alle volte potrai trovare lo £$0$£ tra i numeri naturali, alle volte invece viene escluso. Ogni volta che parli di numeri naturali, ricordati di specificare se comprendi lo £$0$£ oppure no. Così non ci saranno dubbi!

Infatti i numeri naturali, così come i punti della semiretta, sono infiniti, puoi partire da zero e andare avanti a elencarli uno ad uno senza mai fermarti!

Quanto fa £$2+5$£? E £$374+233$£? Sono tutti calcoli che sai fare ma ti ricordi qual è la definizione di addizione? Hai mai notato che la somma di due numeri naturali è un numero naturale?

La somma di due numeri naturali è il numero ottenuto contando di seguito al primo tutte le unità del secondo. Quindi, per esempio, per calcolare £$5+3$£, parto da £$5$£ e conto altre £$3$£ unità: £$6$£, £$7$£, £$8$£, il risultato è £$8$£!

L'operazione per trovare la somma si chiama addizione ed i numeri da sommare si chiamano addendi.

La somma di due numeri naturali è sempre un numero naturale, quindi la somma è un'operazione interna nell'insieme dei numeri naturali £$ \mathbb{N}$£.

L’elemento neutro dell’addizione è lo £$0$£: sommando £$0$£ a qualsiasi numero in £$ \mathbb{N}$£ il risultato non cambia.

Le proprietà dell'addizione sono tre:

• proprietà commutativa: cambiando l'ordine degli addendi il risultato non cambia: £$a+b=b+a$£, cioè, per esempio: £$245+76=76+245$£;
• proprietà associativa: la somma di tre o più numeri non cambia se a due o più di questi sostituiamo la loro somma: £$ (a + b) + c = a + (b + c) $£, cioè, per esempio, £$7+3+5=10+5=7+8$£, con £$10=7+3$£ e £$8=3+5$£;
• proprietà dissociativa: la somma di due o più addendi non cambia se a uno di questi sostituiamo più numeri la cui somma sia uguale all'addendo sostituito. Esempio: Risolviamo £$ 32 + 28 $£. Diventa £$ 30 + 2 + 28 $£ rendendo più semplice l'addizione: £$ 2 $£ e £$ 8 $£ sono numeri amici!

Le proprietà dell’addizione servono per fare i calcoli più velocemente. Guarda gli esempi e allenati con gli esercizi!

Se a £$7$£ togliamo £$5$£ cosa abbiamo? E se a £$5$£ togliamo £$7$£? Il risultato è uguale?

La differenza di due numeri naturali, se esiste, è il numero che aggiunto al secondo dà come somma il primo. L' operazione per ottenere la differenza è la sottrazione. Dalla definizione possiamo anche dire che la sottrazione è anche l’operazione inversa dell’addizione! Quindi, £$57-25=32$£ perché se aggiungi £$32$£ a £$25$£ ottieni £$57$£. Puoi anche pensare di avere £$57$£ oggetti e toglierne £$25$£, quanti ne rimangono? £$32$£!

Poiché non è sempre detto che la sottrazione di due numeri naturali sia ancora un numero naturale, la sottrazione non è un'operazione interna in £$ \mathbb{N} $£.

La sottrazione ha la proprietà invariantiva: la differenza di due numeri non cambia, aggiungendo o togliendo uno stesso numero sia al minuendo sia al sottraendo.

Ti senti pronto per l'interrogazione? Qui trovi alcuni esercizi e domande che il prof ti può chiedere. Prova a rispondere! Se hai dei dubbi, puoi sempre riguardare i video per ripassare e prepararti al meglio!