Sistemi di numerazione e basi

Cosa sono e a cosa servono i sistemi di numerazione? Noi, per esempio, contiamo utilizzando un sistema a base £$10$£ (ha £$10$£ cifre dallo £$0$£ al £$9$£). Ma come si scrive il numero £$23$£ in base £$4$£? In questa lezione imparerai a esprimere qualsiasi quantità utilizzando diversi sistemi di numerazione!

Appunti

Hai studiato i numeri in base £$2$£ e quelli in base £$10$£ ma non sai cosa è un sistema di numerazione? Vorresti anche sapere come passare da un numero in base £$b$£, con £$b$£ numero naturale, ad un numero in base £$10$£ e da un numero in base £$10$£ ad uno in base £$b$£ ma non sai come fare?

In questa lezione risolviamo tutti i tuoi dubbi! Vediamo cosa sono i sistemi di numerazione, l'algoritmo delle divisioni successive per passare dalla base £$10$£ alla base £$b$£ e l'algoritmo di Horner per passare dalla base £$b$£ alla base £$10$£!
Le cifre in un sistema di numerazione assumono un valore diverso a seconda della loro posizione, per questo il nostro sistema decimale si chiama posizionale.
Qualsiasi quantità può essere espressa utilizzando diversi sistemi di numerazione. Per farlo usiamo due metodi:

  • l'algoritmo delle divisioni successive che serve per passare dalla base £$10$£ a una base diversa, per esempio alla base £$2$£.
  • l'algoritmo di Horner che serve per passare da una qualsiasi base alla base £$10$£.

E se vuoi trasformare un numero da una base £$b$£ (£$\ne 10$£) ad una base £$c$£ (£$\ne10$£)? Trasforma il numero da base £$b$£ a base £$10$£ e poi scrivi il numero da base £$10$£ nel numero finale in base £$c$£ mediante l'algoritmo delle divisioni successive.

Guarda i video ed allenati con gli £$11$£ (in base £$2$£) livelli esercizi sui sistemi di numerazione!

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Prerequisiti per imparare i sistemi di numerazione e le basi

I prerequisiti per imparare i sistemi di numerazione e le basi sono:

Sistema decimale e posizionale

Che cos'è la base di sistema di numerazione? La base di un sistema di numerazione è l'insieme dei simboli (cifre) che il sistema utilizza.Il nostro è un sistema decimale, cioè usa £$10$£ cifre dallo £$0$£ al £$9$£.

A seconda di come scriviamo un numero le cifre che lo compongono hanno un significato diverso a seconda della loro posizione: scrivere £$234$£ è diverso da £$324$£. In £$234$£ la prima cifra è un £$2$£ che rappresenta le centinaia, il £$3$£ è la decina e il £$4$£ indica le unità. In £$324$£ abbiamo invece £$3$£ centinaia, £$2$£ decine e £$4$£ unità. Le cifre £$2$£ e £$3$£ si scambiano i ruoli nei due numeri!

Se, come per il nostro sistema decimale, le cifre che compongono il numero hanno un diverso significato a seconda della loro posizione il sistema di numerazione si chiamerà sistema di numerazione posizionale!

Ma è possibile scrivere un certo numero in base £$5$£ per esempio? e in base £$17$£? Guarda gli altri video per imparare come esprimere un certo numero in tutte le basi che vuoi!

Come trasformare un numero dalla base £$10$£ alla base £$b$£

Trasformare un numero dalla base £$10$£ ad una qualunque base £$b$£ è faciissimo! Dobbiamo usare l'algoritmo delle divisioni successive: ma come funziona?

  • Prendiamo il nostro numero e dividiamolo successivamente per la base £$b$£ in cui vogliamo scriverlo fino ad ottenere come quoziente £$0$£. La cosa importante è appuntarsi tutti i resti di queste divisioni.
  • Ora leggiamo i resti dal basso verso l'alto: questo è il nostro numero trasformato in base £$b$£!

Facciamo un breve esempio per chiarire ogni possibile dubbio: vogliamo trasformare £$23$£ (base £$10$£) in base £$5$£:

  • £$23:5=4$£ con resto £$3$£
  • £$4:5=0$£ con resto £$4$£

Quindi £$23_{10}$£ si trasforma nel numero £$43_{5}$£!

Come passare dalla base £$b$£ alla base £$10$£

Ma se ora vogliamo tornare indietro? Abbiamo un numero in base £$b$£ e vogliamo sapere come si scrive in base £$10$£, come facciamo? Si usa un altro algoritmo: l'algoritmo di Horner!

Per esempio trasformiamo il numero £$134$£ dalla base £$5$£ alla base £$10$£:

  • prendiamo la cifra più a sinistra e moltiplichiamo per la base che è £$5$£. Quindi £$1\cdot 5=5$£ e sommiamo questo numero con la seconda cifra, che è £$3$£. Allora abbiamo £$1\cdot 5 + 3=8$£
  • ora moltiplichiamo il risultato ottenuto per la base e sommiamo questo numero alla terza cifra di £$134$£, quindi £$8\cdot 5+4=44$£

Quindi il numero £$134_{5}$£ è il numero £$44$£ in base £$10$£!

Ora ti starai chiedendo: e se volessi trasformare un numero dalla base £$4$£ alla base £$16$£ come si fa?
Devi prima scrivere il numero in base £$10$£ usando l'algoritmo di Horner e poi tramite l'algoritmo delle divisioni successive esprimerlo nella base che volevi.

Interrogazione sui sitemi di numerazione

Ecco una prima breve e facile interrogazione per capire se hai fissato bene tutti i concetti di questa lezione: concetto di base, concetto di posizione e algoritmo delle divisioni successive! Potrebbero essere le domande che ti farà il prof in classe!

Dopo aver risposto a questi quesiti sarai prontissimo per affrontare i tre livelli di esercizi!

Sfida sul sistema binario

Una sfida sul sistema binario! Hai inventato un programma per il tuo computer che ti dice quante camicie hai nell'armadio. Purtroppo il numero che ti dà il pc è in binario, come fai a tradurlo? Prova a risolvere la sfida! Se non ci riesci guarda la soluzione e i video della lezione, così sarai in grado di trasformare un qualsiasi numero nella base che vuoi tu!