Moltiplicazione e divisione in N e proprietà

Scopri le altre due operazioni fondamentali in matematica: moltiplicazione e divisione. Scopri le loro proprietà e se sono delle operazioni interne all'insieme dei numeri naturali.

Appunti

Ora che hai imparato che l'addizione e la sottrazione tra numeri naturali non è banale, ma ha importanti caratteristiche e nei naturali non si può sempre svolgere, facciamo la stessa cosa per la moltiplicazione e divisione!

La moltiplicazione è utile quando dobbiamo sommare tante volte la stessa quantità. Ad esempio se abbiamo £$3+3+3+3+3+3+3$£ perdiamo tempo e spazio sul foglio per scrivere tutta l'espressione. Invece se scriviamo £$3\cdot 7$£ abbiamo lo stesso risultato. Cosa abbiamo fatto? Abbiamo contato quante volte il £$3$£ si ripete (sette volte) e scriviamo la moltiplicazione di £$3$£ per £$7$£
Il prodotto è il risultato della moltiplicazione. Se moltiplichiamo due o più numeri naturali, il prodotto è sempre un numero naturale: la moltiplicazione è un'operazione interna in £$ \mathbb{N}$£
La moltiplicazione ha molte proprietà, che discendono da quelle dell'addizione. In più vale la legge di annullamento del prodotto: qualsiasi numero moltiplicato per £$0$£ è £$=0$£

E la divisione? Un numero (dividendo) diviso un altro numero (divisore) dà come risultato quel numero, che chiamiamo quoziente, che ci dice quante volte possiamo moltiplicare il divisore senza superare il dividendo.
Ovviamente la divisione per £$0$£ è impossibile e se dividiamo £$0$£ per un qualunque numero (tranne lo £$0$£ stesso), abbiamo come quoziente £$0$£
E £$0$£ diviso £$0$£? E' un' operazione indeterminata.
Scopri tutte le proprietà della divisione e cosa succede se dividi un qualunque numero per £$1$£. Riesci a immaginarlo?

Ascolta le lezioni e allenati con gli esempi e gli esercizi svolti e spiegati su moltiplicazione e divisione dei tre livelli!

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Prerequisiti per imparare moltiplicazione e divisione in £$\mathbb{N}$£

Il prerequisito per imparare moltiplicazione e divisione in £$\mathbb{N}$£ è:

Moltiplicazione tra numeri naturali e proprietà

Cos'è la moltiplicazione? Beh è facile. Le tabelline sono un esempio di moltiplicazione tra numeri naturali. Ad esempio "£$3$£ per £$2$£" significa sommare £$3$£ tante volte quante il secondo numero cioè £$2$£. Allora "£$3$£ per £$2$£" è uguale a £$3+3=6$£. Semplice no?
Il risultato della moltiplicazione di due o più numeri è il prodotto. Ma con quale simbolo indichiamo la moltiplicazione? Ce ne sono due: o la x (il per) oppure il pallino £$\cdot$£. Quindi "£$3$£ per £$2$£" sarà £$3 $£ x £$2 $£ oppure £$3 \cdot 2$£
E le proprietà della moltiplicazione? Eccole qua:

  • proprietà commutativa: cambiando l'ordine dei fattori il risultato non cambia;
  • proprietà associativa: il prodotto di tre o più fattori non cambia sostituendo a due o più fattori il loro prodotto;
  • proprietà dissociativa: il prodotto non cambia sostituendo a un fattore più fattori, il cui prodotto è uguale al fattore sostituito;
  • proprietà distributiva rispetto all'addizione: per moltiplicare una somma per un numero si moltiplica ogni termine della somma per quel numero e poi si addizionano i risultati parziali, cioè £$(a + b) \cdot c = (a \cdot c) + (b \cdot c)$£;
  • proprietà distributiva rispetto alla sottrazione: per moltiplicare una differenza per un numero si moltiplica ogni termine della differenza per quel numero e poi si sottraggono i risultati parziali.

E poi c'è la mitica legge di annullamento del prodotto: qualsiasi numero moltiplicato per £$0$£ è £$=0$£. Segui la lezione con gli esempi e poi allenati con gli esercizi!

Come fare la divisione tra numeri naturali

L'operazione inversa (nei numeri naturali) della moltiplicazione è la divisione. Ma come si fa? Prendiamo due numeri naturali £$a$£ e £$b$£: la divisione tra £$a$£ e £$b$£ (con £$b≠0$£) è il più grande numero naturale £$q$£ che moltiplicato per £$b$£ dà un numero £$ \le $£ (minore o uguale) ad £$a$£. Questo numero £$q$£ è il quoziente della divisione, £$a$£ è detto dividendo e £$b$£ è detto divisore.

Ma se facciamo £$ 3 : 2 $£ cosa succede? Non riusciamo a dividere il £$3$£ esattamente in due parti. Quello che rimane è il resto della divisione. È il numero £$r$£ uguale alla differenza di £$a$£ con il prodotto fra £$b$£ e £$q$£ (£$r = a - (b \cdot q)$£).

Esempio: £$ 3 : 2 = 1 $£ con resto £$ r = 3 -(2 \cdot 1) = 3 - 2 = 1 $£

Se £$r = 0$£ il risultato della divisione si chiama quoto o quoziente esatto e significa che il dividendo è multiplo del divisore. Non è possibile (e non ha neanche senso) dividere per £$0$£
Dividendo qualsiasi numero (in £$ \mathbb{N}$£) per £$1$£ si ottiene sempre il numero stesso, per questo £$1$£ è l'elemento neutro (a destra) della divisione.

Le proprietà della divisione sono:

  • proprietà invariantiva: moltiplicando o dividendo i due termini della divisione per uno stesso numero £$ \ne 0$£ il risultato non cambia, mentre il resto, se c'è, è moltiplicato o diviso per lo stesso numero;
  • proprietà distributiva rispetto all'addizione: per dividere una somma (dividendo) per un numero £$c$£ (divisore) si può dividere ogni termine della somma per quel numero e poi addizionare i quoti parziali (Attenzione: tutti i termini della somma devono essere divisibili senza resto per £$c$£);
  • proprietà distributiva rispetto alla sottrazione: per dividere una differenza (dividendo) per un numero £$c$£ (divisore) si può dividere ogni termine della differenza per quel numero e poi sottrarre i quoti parziali (Attenzione: tutti i termini della differenza devono esser divisibili senza resto per £$c$£).

Scopri come calcolare la divisione tra due numeri naturali. Allenati con gli esempi spiegati e gli esercizi!

Nell'interrogazione potrebbero chiederti...

Ora che hai scoperto e imparato come fare la moltiplicazione e la divisione tra numeri naturali e tutte le proprietà della moltiplicazione e della divisione, prova a risolvere questi esercizi per prepararti all'interrogazione!

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Moltiplicazione e divisione: sfida!

Ancora alle prese con la valigia! Queste vacanze ti mettono in agitazione. Beh ne approfitti per ripassare le moltiplicazioni e le divisioni dei tuoi calzini.
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