Moltiplicazione e divisione in N e proprietà

Cos'è la moltiplicazione? Beh è facile. Le tabelline sono un esempio di moltiplicazione tra numeri naturali. Ad esempio "£$3$£ per £$2$£" significa sommare £$3$£ tante volte quante il secondo numero cioè £$2$£. Allora "£$3$£ per £$2$£" è uguale a £$3+3=6$£. Semplice no?
Il risultato della moltiplicazione di due o più numeri è il prodotto. Ma con quale simbolo indichiamo la moltiplicazione? Ce ne sono due: o la x (il per) oppure il pallino £$\cdot$£. Quindi "£$3$£ per £$2$£" sarà £$3 $£ x £$2 $£ oppure £$3 \cdot 2$£
E le proprietà della moltiplicazione? Eccole qua:

• proprietà commutativa: cambiando l'ordine dei fattori il risultato non cambia;
• proprietà associativa: il prodotto di tre o più fattori non cambia sostituendo a due o più fattori il loro prodotto;
• proprietà dissociativa: il prodotto non cambia sostituendo a un fattore più fattori, il cui prodotto è uguale al fattore sostituito;
• proprietà distributiva rispetto all'addizione: per moltiplicare una somma per un numero si moltiplica ogni termine della somma per quel numero e poi si addizionano i risultati parziali, cioè £$(a + b) \cdot c = (a \cdot c) + (b \cdot c)$£;
• proprietà distributiva rispetto alla sottrazione: per moltiplicare una differenza per un numero si moltiplica ogni termine della differenza per quel numero e poi si sottraggono i risultati parziali.

E poi c'è la mitica legge di annullamento del prodotto: qualsiasi numero moltiplicato per £$0$£ è £$=0$£. Segui la lezione con gli esempi e poi allenati con gli esercizi!

L'operazione inversa (nei numeri naturali) della moltiplicazione è la divisione. Ma come si fa? Prendiamo due numeri naturali £$a$£ e £$b$£: la divisione tra £$a$£ e £$b$£ (con £$b≠0$£) è il più grande numero naturale £$q$£ che moltiplicato per £$b$£ dà un numero £$ \le $£ (minore o uguale) ad £$a$£. Questo numero £$q$£ è il quoziente della divisione, £$a$£ è detto dividendo e £$b$£ è detto divisore.

Ma se facciamo £$ 3 : 2 $£ cosa succede? Non riusciamo a dividere il £$3$£ esattamente in due parti. Quello che rimane è il resto della divisione. È il numero £$r$£ uguale alla differenza di £$a$£ con il prodotto fra £$b$£ e £$q$£ (£$r = a - (b \cdot q)$£).

Esempio: £$ 3 : 2 = 1 $£ con resto £$ r = 3 -(2 \cdot 1) = 3 - 2 = 1 $£

Se £$r = 0$£ il risultato della divisione si chiama quoto o quoziente esatto e significa che il dividendo è multiplo del divisore. Non è possibile (e non ha neanche senso) dividere per £$0$£
Dividendo qualsiasi numero (in £$ \mathbb{N}$£) per £$1$£ si ottiene sempre il numero stesso, per questo £$1$£ è l'elemento neutro (a destra) della divisione.

Le proprietà della divisione sono:

• proprietà invariantiva: moltiplicando o dividendo i due termini della divisione per uno stesso numero £$ \ne 0$£ il risultato non cambia, mentre il resto, se c'è, è moltiplicato o diviso per lo stesso numero;
• proprietà distributiva rispetto all'addizione: per dividere una somma (dividendo) per un numero £$c$£ (divisore) si può dividere ogni termine della somma per quel numero e poi addizionare i quoti parziali (Attenzione: tutti i termini della somma devono essere divisibili senza resto per £$c$£);
• proprietà distributiva rispetto alla sottrazione: per dividere una differenza (dividendo) per un numero £$c$£ (divisore) si può dividere ogni termine della differenza per quel numero e poi sottrarre i quoti parziali (Attenzione: tutti i termini della differenza devono esser divisibili senza resto per £$c$£).

Scopri come calcolare la divisione tra due numeri naturali. Allenati con gli esempi spiegati e gli esercizi!

Ora che hai scoperto e imparato come fare la moltiplicazione e la divisione tra numeri naturali e tutte le proprietà della moltiplicazione e della divisione, prova a risolvere questi esercizi per prepararti all'interrogazione!

Non ti bastano? Trovi tanti altri esercizi spiegati e svolti sulla moltiplicazione e divisione nella sezione dedicata.