Teorema fondamentale dell'aritmetica: scomposizione in fattori primi, M.C.D. e m.c.m.

Scopri il teorema fondamentale dell'aritmetica e a cosa servono i numeri primi e perché sono fondamentali nella scomposizione dei numeri naturali.

Impara come calcolare il Massimo Comune Divisore (il più grande tra i divisori comuni a due numeri) e il minimo comune multiplo (il più piccolo fra i multipli comuni a due numeri).

Appunti

In matematica, i teoremi sono importanti. Ma questo forse lo è più di altri: il teorema fondamentale dell'aritmetica. Già dal nome capiamo che è importante sapere cosa dice. Il teorema mette in luce l'importanza dei numeri primi in aritmetica.

Ma cosa dice il teorema fondamentale dell'aritmetica? Ogni numero naturale (£$ > 1$£) si può scrivere in modo unico come prodotto di potenze di numeri primi.
Questo "scrivere come prodotto" in matematica si chiama scomporre.

Ma per scomporre i numeri bisogna dividerli. Ecco quindi che entrano in gioco due grandi amici:

  • Massimo Comune Divisore (M.C.D.): il più grande tra i divisori comuni a due numeri.
  • minimo comune multiplo (m.c.m): il più piccolo fra i multipli comuni a due numeri.

Questi due ti accompagneranno in tutto il tuo percorso matematico.
Per questo è meglio che impari subito a conoscerli e a farteli amici: ti aiuteranno!
Allenati con le videolezioni e con gli esercizi svolti su come calcolare il M.C.D e i m.c.m.

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Prerequisiti per imparare la scomposizione in fattori primi, M.C.D. e m.c.m.

I prerequisiti per imparare la scomposizione in fattori primi, M.C.D. e m.c.m. sono:

Scomposizione in fattori primi

Perché i numeri primi sono così importanti? Tutti i numeri naturali (£$>1$£) sono rappresentabili, in un unico modo, come prodotto di potenze di numeri primi. Questo è l'enunciato del teorema fondamentale dell'aritmetica!
Il teorema è molto importante perché:

  • ci dà la conferma dell'importanza dei numeri primi;
  • serve per semplificare la divisione e la moltiplicazione.

Guarda l'esempio nel video e allenati con gli esercizi. Scopri come rappresentare i numeri come prodotto di primi. Ti servirà moltissimo in matematica!

Massimo comun divisore

Quali numeri dividono £$4$£ e £$12$£? Beh sicuramente il £$2$£. Ma è l'unico? No, certo, c'è anche il £$4$£. Altri? Questa volta abbiamo finito. E abbiamo che il £$4$£ è il più grande divisore di £$4$£ e £$12$£. Allora diciamo che è il Massimo Comune Divisore (M.C.D.) infatti:

  • Massimo perché è il più grande
  • Comune perché divide entrambi i numeri
  • Divisore perché il resto della divisione (intera) è £$0$£

Come si calcola il M.C.D.? Per calcolare il Massimo Comun Divisore basta scomporre i numeri in fattori primi, e moltiplicare tra loro i fattori comuni presi con l'esponente minore.
E se due numeri non hanno fattori comuni? In questo caso, il loro Massimo Comun Divisore è £$1$£ e i numeri sono primi tra loro.

Allenati con a calcolare il Massimo Comun Divisore con gli esercizi!

Minimo comune multiplo

Come si chiama il più piccolo numero che è multiplo di due numeri naturali? È il minimo comune multiplo (m.c.m). Perché si chiama così? Vediamo:

  • minimo perché è il più piccolo
  • comune perché vale per tutti i numeri considerati
  • multiplo perché è divisibile per i numeri considerati

Come calcolare il minimo comune multiplo? È molto semplice: basta scomporre i numeri in fattori primi e poi moltiplicare tutti i fattori, comuni e non, presi una sola volta con l'esponente maggiore.
Ad esempio, il m.c.m. di £$15=3\cdot 5$£ e £$25=5^2$£ è £$75=3\cdot 5^2$£ perché abbiamo preso tutti i fattori comuni e non (£$3$£ e £$5$£) con l'esponente maggiore.

Allenati a calcolare il m.c.m. perché ti accompagnerà per tutto il tuo viaggio matematico!

E se ti interrogano?

Dopo aver visto come scomporre i numeri in fattori primi, come calcolare il M.C.D. e il m.c.m., prova a fare gli esercizi! Preparati alla verifica o all'interrogazione così la puoi affrontare in tranquillità (e magari prendere un bel voto!).

Sfida: quando conviene usare MCD e mcm?

Tuo nonno prende due pastiglie, una ogni 6 ore, l'altra ogni 2. Le ha prese insieme adesso. Tra quante ore le riprenderà contemporaneamente? Esercizi come questo sono tipici delle prove invalsi o dei test di logica e ragionamento. Puoi stare lì a contare una ad una le ore che passano, oppure? Impara cosa sono il Massimo Comun Divisore (MCD) ed il minimo comune multiplo (mcm) e come ti aiutano nella soluzione di esercizi come questo e come quello della sfida. Dopo che hai svolto la sfida puoi leggere la soluzione. Hai risolto correttamente? Vediamo insieme le definizioni e gli esercizi svolti!