Equazione della parabola: definizione

La parabola è il luogo dei punti che hanno uguale distanza da un punto fisso £$F$£, detto fuoco, e da una retta £$d$£, chiamata direttrice.
Altri elementi fondamentali della parabola sono:

• L'asse di simmetria è la retta perpendicolare alla direttrice e passante per il fuoco della parabola;
• Il vertice £$V$£ è il punto in cui la parabola interseca il suo asse di simmetria, ed è anche il punto medio del segmento che unisce il fuoco al punto di intersezione dell'asse con la direttrice;
• I rami della parabola sono le due parti in cui la conica viene divisa dall'asse di simmetria.

A partire dalla definizione calcoliamo l'equazione della parabola con asse di simmetria l'asse £$y$£ e vertice nell'origine degli assi.

La definizione di parabola come luogo dei punti si traduce in formule come £$ d(P,f)=d(P,d) $£

Dove, dalle definizioni date prima troviamo:

• £$P(x; y)$£ è un punto della parabola;
• £$F(0; f)$£ è il fuoco;
• £$d: y=-f$£ è l'equazione della direttrice.

Applichiamo le definizioni di distanza fra due punti e di distanza punto retta e troviamo l'equazione £$y=ax^2$£ con £$a=\frac{1}{4f}$£

Il segno del coefficiente £$a$£ è legato alla concavità della parabola:

• £$a>0$£: concavità verso l'alto;
• £$a<0$£: concavità verso il basso.

Il valore assoluto di £$a$£ indica l'apertura della parabola. All'aumentare del valore assoluto di £$a$£ diminuisce l'apertura della parabola, ossia i suoi rami sono sempre più vicini all'asse di simmetria. Viceversa se il valore assoluto di £$a$£ diminuisce la parabola ha i rami sempre più aperti.