Rette e parabola

Impara le posizioni reciproche tra retta e parabola! Studia il caso particolare delle rette tangenti alla parabola e scopri la formula di sdoppiamento

Vuoi imparare le posizioni possibili fra rette e parabole? Cosa vuol dire e quando si verifica che una retta è esterna, tangente o secante ad una parabola? Quando usare la formula di sdoppiamento? Ora che conosci bene le equazioni e le particolarità della parabola sei pronto a studiare le sue posizioni rispetto ad una retta.

In questa lezione imparerai:

  • Posizioni reciproche retta-parabola: definizione e metodo per trovare le rette secanti in due punti o in un punto, rette tangenti e rette esterne ad una parabola;
  • Il caso delle rette tangenti: quante rette tangenti ad una parabola si trovano dato un punto e come trovarle;
  • Formula di sdoppiamento: qual è, come si trova e quando si usa.

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Prerequisiti per imparare le posizioni reciproche di retta e parabola

I prerequisiti per imparare le rette e la parabola sono:

Posizioni reciproche retta-parabola

Prendiamo una parabola con asse parallelo all'asse £$y$£ e una retta generica di equazione £$y=mx+q$£. Mettendole a sistema si trova un'equazione risolvente di secondo grado in cui se:

  • il delta è maggiore di zero (£$ \Delta>0$£): il sistema ha due soluzioni. Retta e parabola si incontrano in due punti e sono secanti;
  • il delta è nullo (£$ \Delta=0$£): la retta interseca la parabola in un punto (doppio) e si dice tangente;
  • il delta è negativo (£$\Delta <0$£): il sistema non ha soluzioni, la retta è esterna alla parabola quindi non hanno punti in comune.

E cosa succede con le rette parallele all'asse di simmetria della parabola? Queste rette non sono esprimibili tramite l'equazione implicita della retta.
Intersecandole con una parabola il sistema ha una soluzione unica, quindi la retta non è tangente (altrimenti le soluzioni sarebbero due coincidenti) ma è secante in un solo punto.

Il caso delle rette tangenti

Quante rette di un fascio proprio di centro £$P$£ possono essere tangenti ad una parabola? Dipende dalla posizione del punto rispetto alla parabola.

  • Se £$P$£ è esterno, troviamo due rette tangenti
  • Se £$P$£ appartiene alla parabola, troviamo una retta tangente
  • Se £$P$£ è interno, nessuna retta del fascio è tangente.

Risolvendo un sistema come quello già visto possiamo verificare questi casi.

Formula di sdoppiamento

La formula di sdoppiamento permette di trovare la retta tangente ad una parabola dato un suo punto £$P$£.

A partire dall'intersezione fra una generica parabola ed il fascio di rette di centro £$P$£, tramite alcuni calcoli algebrici si ottiene l'equazione della retta tangente in £$P$£ tramite la formula: £$\frac{y+y_0}{2}=ax_0x+b\frac{x+x_0}{2}+c$£
Si chiama "formula di sdoppiamento" in quanto si ottiene "sdoppiando" le incognite dell'equazione della parabola.

Esercizi su retta e parabola

Trova la posizione reciproca tra una retta e una parabola!

Prova a capire quali sono le posizioni reciproche tra retta e parabola.

Sfida su retta e parabola

Prova a risolvere la sfida matematica di questa lezione!

Esercizi svolti Rette e parabola

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Esercizi Rette e parabola - 1

Esercizi Rette e parabola - 2

Esercizi Rette e parabola - 3

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