Trovare l'equazione di una parabola dagli elementi principali e dato un punto

Scopri le condizioni per trovare una parabola: a partire dai suoi elementi principali (vertice, direttrice, fuoco) e da un suo punto.

Servono tre condizioni per trovare una parabola. Quali sono? Come possiamo trovarle? Possiamo combinarle fra loro? Impariamo a trovare l'equazione di una parabola conoscendo alcune sue caratteristiche come il fuoco, il vertice, la direttrice, l'asse o un punto.

In questa lezione imparerai:

  • condizioni per trovare una parabola: quante condizioni servono e come si sfruttano
  • parabola a partire dai suoi elementi principali: quante condizioni ricaviamo dalla conoscenza di vertice, fuoco, asse, o direttrice
  • parabola dato un punto

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Prerequisiti per imparare come trovare l'equazione di una parabola

I prerequisiti per imparare come trovare l'equazione di una parabola dagli elementi principali e dato un punto sono:

Condizioni per trovare una parabola

Per determinare univocamente l'equazione di una generica parabola abbiamo bisogno di tre condizioni, tante quanti i coefficienti dell'equazione: £$a, b$£ e £$c$£.

Dobbiamo sostituire le tre condizioni nell'equazione generica della parabola e troviamo tre equazioni nelle incognite £$a, b$£ e £$c$£.

Poiché le condizioni descrivono la stessa parabola, devono valere contemporaneamente: dobbiamo inserirle in uno stesso sistema o metterne a sistema due e poi applicare all'equazione risolvente la terza condizione.

Trovi gli esercizi su questi argomenti nella lezione successiva.

Parabola a partire dai suoi elementi principali

Vogliamo trovare la parabola con asse parallelo all'asse delle £$y$£ e della quale conosciamo almeno uno tra:

  • ll fuoco £$F\left(-\frac{b}{2a}; \frac{1-\Delta}{4a} \right)$£
  • La direttrice £$y=-\frac{1+\Delta}{4a}$£
  • Il vertice £$V\left(-\frac{b}{2a}; -\frac{\Delta}{4a} \right)$£
  • L'asse di simmetria £$x=-\frac{b}{2a}$£

Le formule dell'ascissa e dell'ordinata del vertice o del fuoco sono due condizioni sui coefficienti della parabola.
Un'informazione si può anche avere se si conosce l'equazione della direttrice o dell'asse di simmetria e si sostituiscono le rispettive formule.

Trovi gli esercizi su questi argomenti nella lezione successiva.

Equazione della parabola dato un punto

Un punto appartiene a una conica se, sostituendo le sue coordinate al posto della £$x$£ e della £$y$£ nell'equazione della curva, si ottiene un'identità.
Una condizione per trovare la parabola è quindi quella dell'appartenenza del punto: dato un punto £$P$£, vogliamo trovare la parabola con asse di simmetria parallelo all'asse £$y$£ che passi per quel punto. Otteniamo un'equazione con incognite £$a, b$£ e £$c$£ e cerchiamo i loro valori affinché sia verificata l'identità.
Per avere tre condizioni puoi combinarla con:

  • l'appartenenza di altri due punti non allineati (per tre punti non allineati passa una sola parabola!)
  • le coordinate del fuoco o del vertice
  • l'equazione dell'asse o della direttrice
  • l'equazione dell'asse e un punto

Trovi gli esercizi su questi argomenti nella lezione successiva.

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