Definizione di fasci di rette nel piano cartesiano

Un fascio di rette è un'insieme di rette con una caratteristica un comune.
Ma quando un fascio è improprio? Un fascio improprio di rette è un insieme di rette parallele a una retta data.

Si chiama improprio perché è tutte le rette sono delle copie della retta principale che sono traslate rispetto a questa.

Poiché le rette del fascio improprio sono tutte parallele, hanno lo stesso coefficiente angolare £$m$£ e differiscono solo per il termine noto £$q$£.

Per capire se un fascio di rette è improprio, basta vedere se il parametro (£$k$£ di solito) è presente solo al termine noto.

Un fascio proprio di rette è l'insieme di tutte le rette che passano per un punto. Il punto di intersezione di queste rette viene chiamato centro del fascio.
Dato il punto £$P(x_P; y_P)$£, il fascio di rette di centro £$P$£:

• ha equazione: £$y-y_P=m(x-x_P)$£
• include tutte le rette passanti per £$P$£ tranne quella parallela all'asse £$y$£: £$x=x_P$£.

Per completezza, quindi, meglio indicare il fascio con entrambe le equazioni:

£$\begin{cases} y-y_P=m(x-x_P) \\ x=x_P \end{cases}$£, con £$m \in \mathbb{R}$£
Tutte le rette del fascio proprio hanno una diversa pendenza, cioè un coefficiente angolare diverso.

Dato un fascio di rette dipendenti da un parametro £$k$£, il fascio è proprio se £$k$£ compare nel coefficiente angolare delle rette del fascio. Infatti, al variare di £$k$£, varia anche il coefficiente angolare delle rette.

Cosa ti chiederà il prof nell'interrogazione sui fasci di rette? Ti chiederà di riconoscere il fascio di rette, magari di trovare il punto base (se il fascio è proprio).

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