Punti e segmenti nel piano cartesiano

Impara ad utilizzare le coordinate di un punto su un piano cartesiano e a calcolare la distanza tra due punti (con la stessa ordinata, con la stessa ascissa, in un caso generale) e il punto medio di un segmento.

Cosa è un sistema di assi cartesiani? Come si scrivono le coordinate di un punto? Cosa sono le ascisse e le ordinate o gli assi cartesiani? Come si trova la distanza fra due punti? Cosa è il punto medio e come si trovano le sue coordinate? In questa lezione ci occupiamo proprio di tutte queste formule e della loro dimostrazione! Capiamo insieme cosa è il piano cartesiano e cosa sono le coordinate di un punto.

In questa lezione imparerai:

- Coordinate di un punto su un piano: cosa è un sistema di assi cartesiani e cosa sono e come si scrivono le coordinate
- Distanza tra due punti: formule della distanza fra due punti a seconda della posizione dei due punti e dimostrazioni
- Punto medio di un segmento: cosa è e come si trovano le coordinate del punto medio e dimostrazione delle formule

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Prerequisiti per imparare punti e segmenti nel piano cartesiano

I prerequisiti per imparare punti e segmenti nel piano cartesiano sono:

Come trovare le coordinate di un punto sul piano

Che cos'è il piano cartesiano? A cosa serve? Come si rappresentano i punti?

Il sistema di assi cartesiani ortogonali è un modo per rappresentare i punti nel piano. Ma come si costruisce questo sistema?
Traccia due rette (asse £$x$£ o asse delle ascisse e asse £$y$£ o asse delle ordinate), una orizzontale e una verticale, che si incontrano perpendicolarmente in un punto £$O$£ che chiamerai origine. Fatto? Perfetto, hai appena disegnato il tuo primo sistema di assi cartesiani ortogonali!

Ogni punto £$A$£ viene indicato tramite una coppia di coordinate £$(x; y)$£:

  • la coordinata £$x$£ è l'ascissa del punto e mostra quanto ci dobbiamo spostare dall'origine sull'asse delle ascisse;
  • la coordinata £$y$£ è l'ordinata del punto e mostra quanto ci dobbiamo spostare dall'origine sull'asse delle ordinate.

Il piano è diviso in quattro parti uguali chiamate quadranti.
I quadranti sono numerati in senso antiorario e sono così caratterizzati:

  • I quadrante: in alto a destra, £$x$£ e £$y$£ positive;
  • II quadrante: in alto a sinistra, £$x$£ negativa e £$y$£ positiva;
  • III quadrante: in basso a sinistra, £$x$£ e £$y$£ negative;
  • IV quadrante: in basso a destra, £$x$£ positiva e £$y$£ negativa.

Come calcolare la distanza tra due punti

Come si calcola la distanza tra due punti nel piano cartesiano? Sei nella lezione giusta per scoprirlo! Si parte dal calcolo più facile cioè se i punti hanno la stessa ordinata o la stessa ascissa!

Punti con la stessa ordinata.
La distanza di due punti con la stessa ordinata si calcola come valore assoluto della differenza fra le ascisse dei due punti: £$ AB=\left| x_B - x_A \right|$£

Punti con la stessa ascissa.
La distanza di due punti con la stessa ascissa si calcola come valore assoluto della differenza fra le ordinate dei due punti £$ CD=\left| y_D - y_C \right|$£

Ricordati di mettere sempre il modulo (o valore assoluto) perché le misure di un segmento non possono essere mai negative in geometria euclidea!

Caso generale.
La distanza di due punti qualsiasi £$A(x_A; y_A)$£ e £$B(x_B;y_B)$£ si calcola come: £$ \sqrt{(x_A-x_B)^2+(y_A-y_B)^2} $£

Questa formula si dimostra applicando il teorema di Pitagora.

Come cercare il punto medio di un segmento

Il punto medio di un segmento £$AB$£ è il punto che ha la stessa distanza da £$A$£ e da £$B$£, cioè che divide il segmento a metà.

Indica con £$M$£ questo punto, in modo che £$AM=MB$£.
Le coordinate del punto medio si trovano come

£$x_M=\frac{x_A+x_B}{2}$£ e £$y_M=\frac{y_A+y_B}{2}$£

Queste formule si dimostrano partendo dalla formula £$AM=MB$£ e applicando le formule viste nel video precedente nel caso in cui i punti abbiano la stessa ascissa o la stessa ordinata. Nel caso generale applichiamo il teorema del fascio di rette parallele!

Cosa potrebbero chiederti nell'interrogazione

Sai trovare le coordinate di un punto nel piano cartesiano? Hai capito come calcolare la distanza tra due punti o scrivere le coordinate del punto medio di un segmento? Se la risposta è sì allora non avrai problemi a rispondere alle domande dell'interrogazione!

Sfida sui punti nel piano cartesiano

Il piano cartesiano è come battaglia navale! Ti chiedi perchè? Te lo spiegano Lord Nelson e Jack Sparrow che si sfidano sempre a battaglia navale! Poi allenati con gli esercizi!

Esercizi svolti Punti e segmenti nel piano cartesiano

Ecco gli esercizi su Punti e segmenti nel piano cartesiano in ordine di difficoltà crescente, completi di procedimento, spiegazione e soluzione. Ogni esercizio è in forma di domanda con 3 o 4 opzioni di risposta. Gli esercizi sono interattivi e danno feedback immediato. Ogni esercizio spiegato ti aiuta a studiare e ripassare velocemente per l'interrogazione ed il compito su Piano cartesiano e retta. Allenati con gli esercizi svolti di matematica, accumula punti e entra in classifica! Completa tutti i livelli di difficoltà dell'esercitazione per migliorare i tuoi voti in Aritmetica e Algebra

Esercizi Punti e segmenti nel piano cartesiano - 1

Ecco alcuni problemi sul piano cartesiano! Impara a disegnare i punti e a calcolare la distanza tra due punti nel piano cartesiano con questi esercizi (tutti svolti e spiegati!).

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Esercizi sul calcolo della distanza tra due punti e del punto medio nel piano cartesiano! Se hai qualche dubbio leggi la spiegazione ad ogni esercizio!

Esercizi Punti e segmenti nel piano cartesiano - 3

Problemi di geometria ed esercizi sul piano cartesiano! Ogni esercizio ha la spiegazione, così puoi ripassare tutto!

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