Ripasso sulle equazioni: cosa sono e come si risolvono

Le equazioni in matematica possono assumere molte forme: equazioni di primo e secondo grado, equazioni irrazionali e equazioni con valore assoluto. Ognuna di queste categorie rivela una sfaccettatura specifica della matematica. In questo articolo, forniremo dettagli su ciascuno di questi tipi di equazioni, spiegando come si presentano e come risolverle.

In questa lezione imparerai:

• come risolvere le equazioni di primo e secondo grado
• come risolvere le equazioni con valore assoluto (o modulari)
• come risolvere le equazioni irrazionali, dove la £$x$£ è sotto la radice

• Cos'è un'equazione e qual è il suo grado
• Come risolvere le equazioni in valore assoluto
• Come risolvere le equazioni irrazionali
• Esercizi sulle equazioni irrazionali e con valore assoluto

Cos’è un’equazione e qual è il suo grado

Le equazioni e il loro grado

Questo argomento lo hai già studiato sicuramente, ma è molto importante rinfrescare la memoria.

Le equazioni che hai visto finora sono quelle intere e fratte.

Le equazioni di primo grado, anche conosciute come lineari, contengono una o più variabili elevate alla potenza di uno, costituendo la base di molti calcoli matematici. La comprensione di queste equazioni e dei metodi per risolverle è un passaggio cruciale nell’apprendimento della matematica.

Le equazioni di secondo grado rappresentano un avanzamento rispetto a quelle di primo grado. In queste equazioni, le variabili sono elevate alla potenza di due. Queste equazioni presentano concetti più avanzati, come la formula quadratica, e possono avere fino a due soluzioni reali.

Come risolvere le equazioni in valore assoluto

Le equazioni con valore assoluto

Le equazioni contenenti uno o più valori assoluti sono da sempre lo spauracchio di molti studenti. In realtà, l’unico problema è che sono più “lunghe” da risolvere.

Infatti quando in un’equazione è presente un valore assoluto, bisogna:

1. studiare il valore assoluto, cioè trovare gli intervalli di positività e negatività dell’argomento del modulo
2. negli intervalli di positività, si toglie il modulo e si risolve l’equazione
3. negli intervalli di negatività, si cambia segno a tutto l’argomento del modulo e si risolve l’equazione
4. in entrambi i casi, bisogna controllare che la soluzione trovata rientri nell’intervallo in cui si stava studiando l’equazione

Queste equazioni introducono il concetto di “valore assoluto“, che in matematica rappresenta la distanza di un numero da zero. Queste equazioni possono essere risolte in vari modi, a seconda della loro specifica struttura, mostrando come il concetto di distanza possa essere applicato nella matematica.

Come risolvere le equazioni irrazionali

Le equazioni irrazionali

Un’equazione è irrazionale quando l’incognita compare sotto una radice. Ci sono due casi:

• se l’indice della radice è dispari, si elevano entrambi i membri a quell’indice, in modo da togliere la radice
• se l’indice è pari, bisogna prima mettere le C.E. dell’argomento della radice (che deve essere maggiore o uguale a zero) e poi si elevano entrambi i membri all’indice della radice. Una volta trovata la soluzione, bisogna confrontarla con le C.E.

Le equazioni irrazionali, che coinvolgono radici quadrate, cubiche o di altro ordine, possono sembrare più complesse, ma sono altrettanto importanti. In queste equazioni, la variabile si trova sotto il segno della radice. Nonostante la loro apparente complessità, queste equazioni seguono regole specifiche e possono essere risolte con diversi metodi!

Esercizi sulle equazioni irrazionali e con valore assoluto

L’unico modo per imparare a risolvere le equazioni con valore assoluto e quelle irrazionali è fare un sacco di esercizi.

Qui trovi alcuni esercizi sulle equazioni in valore assoluto e irrazionali, ma ce ne sono tanti altri nei tre livelli di esercizi di questa lezione!